Um novo tipo de aditivo para concreto tem 98 \% de eficácia na prevenção de fissuras em estruturas sujeitas a altas temperaturas. Suponha que 8 peças estruturais tratadas com esse aditivo sejam testadas. Seja X o número de peças sem fissuras. Determine:
(a) A distribuição de X;
(b) A probabilidade de exatamente 7 peças estarem protegidas contra fissuras;
(c) O valor esperado e a variância de X.

Passo 1

O enunciado diz que cada peça tratada tem probabilidade de 0,98 de não apresentar fissuras, e testamos n=8 peças independentemente. Definimos X como o número de peças sem fissuras. Este é um caso de distribuição binomial, pois temos um número fixo de ensaios independentes com dois resultados possíveis (sucesso = sem fissura, fracasso = fissura) e probabilidade constante de sucesso em cada ensaio.

Passo 2

Como cada ensaio tem probabilidade de sucesso p=0,98 e fracasso 1-p=0,02, concluímos que
X\sim \mathrm{Bin}\bigl(n=8,\;p=0,98\bigr)
e, para k=0,1,\dots,8,
P(X=k)=\binom{8}{k}(0,98)^{k}(0,02)^{8-k}.

Passo 3

Para a probabilidade de exatamente 7 peças sem fissuras, basta substituir k=7 na fórmula:
P(X=7)=\binom{8}{7}(0,98)^{7}(0,02)^{1} =8\,(0,98)^{7}\,(0,02).

Passo 4

As fórmulas de valor esperado e variância para X\sim\mathrm{Bin}(n,p) são
E[X]=n\,p,
\mathrm{Var}(X)=n\,p\,(1-p).
Aqui,
E[X]=8\cdot0,98=7,84,
\mathrm{Var}(X)=8\cdot0,98\cdot0,02=0,1568.

Resposta

(a) X\sim \mathrm{Bin}(8,0,98).
(b) P(X=7)=8\,(0,98)^{7}\,(0,02).
(c) E[X]=7,84 e \mathrm{Var}(X)=0,1568.

Exercícios relacionados