Em uma pesquisa com 12 clientes que contrataram serviços de execução de fundações, estima-se que a chance de ficarem plenamente satisfeitos é de 60 \%. Seja X o número de clientes satisfeitos. Determine:
(a) A probabilidade de exatamente 10 clientes estarem satisfeitos;
(b) A probabilidade de pelo menos 10 clientes estarem satisfeitos;

Passo 1

O enunciado nos dá uma pesquisa com n=12 clientes em que cada cliente tem probabilidade p=0,6 de ficar plenamente satisfeito. Definimos a variável aleatória X como o número de clientes satisfeitos. O conteúdo aqui é a distribuição binomial, que descreve o número de sucessos em n tentativas independentes com probabilidade p de sucesso em cada tentativa.

Passo 2

Para uma variável aleatória X que segue a distribuição binomial com parâmetros n e p, temos
P(X=k) \;=\; \binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}
onde
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}
é o número de maneiras de escolher k sucessos em n tentativas.

Passo 3

(a) Queremos P(X=10). Aplicando a fórmula com n=12, k=10 e p=0,6:
P(X=10) \;=\; \binom{12}{10}\,(0,6)^{10}\,(0,4)^{2}.
Calculando passo a passo:
\binom{12}{10} = 66, \quad (0,6)^{10} \approx 0,006041, \quad (0,4)^{2} = 0,16.
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P(X=10) = 66 \times 0,006041 \times 0,16 \approx 0,0638.

Passo 4

(b) Para P(X\ge10), somamos as probabilidades de k=10,11,12:
P(X\ge10) = P(X=10) + P(X=11) + P(X=12).
Já temos P(X=10). Falta
P(X=11) = \binom{12}{11}(0,6)^{11}(0,4)^{1} = 12 \times 0,003625 \times 0,4 \approx 0,0174,
P(X=12) = \binom{12}{12}(0,6)^{12}(0,4)^{0} = 1 \times 0,002175 \times 1 \approx 0,0022.
Somando:
P(X\ge10) \approx 0,0638 + 0,0174 + 0,0022 = 0,0834.

Resposta

(a) P(X=10)=\displaystyle 66\,(0,6)^{10}\,(0,4)^{2}\approx 0,0638
(b) P(X\ge10)=P(X=10)+P(X=11)+P(X=12)\approx 0,0834

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