1. (IFGO - 2018) Certo capital foi aplicado a juros simples de 10 \% ao mês durante 8 meses. Ao encerrar o prazo dessa aplicação, o montante obtido foi reaplicado por mais 7 meses, a juros simples de 8 \% ao mês, resultando em um novo montante no valor de R$ 7.862,40. Com base nessas informações, pode-se dizer que o capital inicial na primeira operação era de:
    a) R$ 5.400,00.
    b) R \ 4.200,00 . c) \(R \\) 2.800,00.
    d) R$ 3.600,00.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o capital inicial da primeira operação:
  • Um capital inicial (que vamos chamar de \,C\,) foi aplicado a juros simples de \,10\% ao mês durante \,8 meses.
  • Ao final desses \,8 meses obteve-se um montante que foi reaplicado a juros simples de \,8\% ao mês durante mais \,7 meses.
  • O montante final, depois dessas duas aplicações sucessivas, foi de R$ \,7.862,40.
  • Pergunta: qual era o capital inicial \,C da primeira aplicação?

Passo 2

Fórmula do montante em juros simples e explicação didática:
  • Em juros simples, o juro gerado é proporcional ao capital inicial, à taxa e ao tempo. A fórmula do montante é
M = C(1 + r t),
onde:
  • M é o montante (capital + juros) após o período;
  • C é o capital inicial;
  • r é a taxa de juros por período (em forma decimal; ex.: \,10\% vira \,0,10);
  • t é o número de períodos (meses, no nosso caso).
  • Por que essa fórmula? Porque o juro simples calcula o juro total como J = C r t, e o montante é M = C + J = C + C r t = C(1+r t).
  • Exemplo rápido para fixar: se eu aplico \,C=100 a \,r=10\%=0,10 por \,t=2 meses, o montante é 100(1+0,10\cdot2)=100(1+0,20)=120.

Passo 3

Calcular o montante após a primeira aplicação (8 meses a \,10\% ao mês):
  • Use a fórmula com C (capital inicial), r_1=0,10 e t_1=8:
M_1 = C(1 + r_1 t_1) = C(1 + 0,10\cdot 8).
  • Fazer a conta interna: 0,10\cdot 8 = 0,80. Então
M_1 = C(1 + 0,80) = C\cdot 1,80.
  • Interpretação: após 8 meses, o montante vale \,1{,}80 vezes o capital inicial (ou seja, capital mais 80\% de juros).

Passo 4

Calcular o montante final após a segunda aplicação (reaplicar M_1 por 7 meses a \,8\% ao mês):
  • Agora o capital da segunda aplicação é M_1. Aplique a fórmula com r_2=0,08 e t_2=7:
M_2 = M_1(1 + r_2 t_2) = M_1(1 + 0,08\cdot 7).
  • Calcule 0,08\cdot 7 = 0,56. Então
M_2 = M_1(1 + 0,56) = M_1\cdot 1,56.
  • Substitua M_1 = C\cdot 1,80:
M_2 = (C\cdot 1,80)\cdot 1,56 = C\cdot (1,80\cdot 1,56).
  • Calcule o produto 1,80\cdot 1,56. Faço passo a passo sem calculadora: escrevendo como frações, 1,80=\dfrac{180}{100}=\dfrac{9}{5} e 1,56=\dfrac{156}{100}=\dfrac{39}{25}. Então
1,80\cdot 1,56 = \frac{9}{5}\cdot\frac{39}{25} = \frac{351}{125} = 2,808.
  • Portanto
M_2 = C\cdot 2,808.

Passo 5

Relacionar com o montante final dado e resolver para C:
  • O enunciado diz que o montante final M_2 vale R$ \,7.862,40. Então
C\cdot 2,808 = 7.862,40.
  • Isolando C,
C = \frac{7.862,40}{2,808}.
  • Para encontrar esse quociente sem calculadora, podemos verificar as alternativas ou fazer a multiplicação inversa. Testando a alternativa \,C=2.800,00 (uma das opções):
2,808\cdot 2.800 = 2,808\cdot(28\cdot 100) = (2,808\cdot 28)\cdot 100.
  • Calcule 2,808\cdot 28: 2,808\cdot 20 = 56,160 e 2,808\cdot 8 = 22,464. Somando, 56,160 + 22,464 = 78,624.
  • Multiplicando por 100: 78,624\cdot 100 = 7.862,400. Interpretando a posição decimal (lembrando que trabalhamos com reais), isso corresponde a R$ \,7.862,40.
  • Logo \,C = 2.800,00 satisfaz exatamente a equação.

Passo 6

Confirmação e observação final:
  • Encontramos que o capital inicial que, após as duas aplicações sucessivas em juros simples, resulta em R$ \,7.862,40 é R$ \,2.800,00.
  • Entre as opções dadas, isso corresponde à alternativa (c).

Resposta

(c) R$ 2.800,00

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