(UFPI) Uma quantia foi aplicada a juros simples de 6 \% ao mês, durante 5 meses e, em seguida, o montante foi aplicado durante mais 5 meses, a juros simples de 4 \% ao mês. No final dos 10 meses, o novo montante foi de R$ 234,00 . Qual o valor da quantia aplicada inicialmente?

Passo 1

O enunciado pede que encontremos a quantia aplicada inicialmente (valor principal desconhecido). As informações dadas são:
  • A quantia inicial é aplicada a juros simples de 6\% ao mês durante 5 meses.
  • Depois desses 5 meses, o montante obtido é novamente aplicado a juros simples de 4\% ao mês durante mais 5 meses.
  • Ao final dos 10 meses, o montante final vale R\$\,234{,}00.
    A pergunta clara: qual foi a quantia aplicada inicialmente?

Passo 2

Vamos aprender a fórmula de juros simples e como usá-la. Em juros simples, os juros em cada período são calculados sempre sobre o mesmo valor inicial (o principal). A fórmula que relaciona o montante M ao principal P, taxa por período i e número de períodos n é:
M = P\,(1 + i\,n)
onde:
  • M é o montante (valor acumulado depois de n períodos),
  • P é o principal (quantia inicial),
  • i é a taxa por período (expressa em forma decimal, por exemplo 6\% vira 0,06),
  • n é o número de períodos (meses, se a taxa é mensal).
    Exemplo rápido: se P=100, i=0,05 e n=2, então M=100(1+0,05\cdot2)=100(1+0,10)=110.

Passo 3

Aplicamos a fórmula ao primeiro período de 5 meses com taxa 6\% ao mês ( i=0,06, n=5). O montante após os primeiros 5 meses, que chamo de A_1, é:
A_1 = P\,(1 + 0,06\cdot 5)
Calculemos o produto dentro do parêntese:
0,06\cdot 5 = 0,30
então
A_1 = P\,(1 + 0,30) = P\cdot 1,30.

Passo 4

Agora esse A_1 é o principal para a segunda aplicação de 5 meses com taxa 4\% ao mês ( i=0,04, n=5). O montante final A_2 é:
A_2 = A_1\,(1 + 0,04\cdot 5)
Calcule o produto:
0,04\cdot 5 = 0,20
então
A_2 = A_1\,(1 + 0,20) = A_1\cdot 1,20.

Passo 5

Substituímos A_1 = 1,30P na expressão de A_2:
A_2 = 1,20 \cdot A_1 = 1,20 \cdot (1,30P).
Primeiro multiplicamos os fatores:
1,20 \cdot 1,30 = 1,56.
Portanto
A_2 = 1,56\,P.

Passo 6

O enunciado diz que o montante final A_2 vale R\$\,234{,}00. Então temos a equação:
1,56\,P = 234.
Para achar P, dividimos ambos os lados por 1,56:
P = \frac{234}{1,56}.
Para facilitar sem calculadora, multiplico numerador e denominador por 100:
P = \frac{23400}{156}.
Agora note que 156 \times 150 = 23400, logo
P = 150.

Passo 7

Cheque rápido para garantir que está correto: com P=150,
A_1 = 150\cdot 1,30 = 195,
depois
A_2 = 195\cdot 1,20 = 234,
que é o valor dado pelo enunciado. Está consistente. Boa! Você conseguiu — com calma e passo a passo.

Resposta

\text{R\$ }150{,}00

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