IFRN - Campus Natal Central Licenciatura em Física
Equações Diferenciais Ordinárias (2024.2)
Prof. Tibério Alves, DSc
8 de fevereiro de 2025
Lista III - Método das séries de potências
Questão 1. Encontre a solução por séries de potências de
(em torno de
), para as seguintes EDOs (expresse os primeiros 4 termos de cada série).
.
Equações Diferenciais Ordinárias (2024.2)
Prof. Tibério Alves, DSc
8 de fevereiro de 2025
Lista III - Método das séries de potências
Questão 1. Encontre a solução por séries de potências de
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária usando séries de potências. A questão pede para encontrar a solução de
em torno de
e expressar os primeiros 4 termos da série. Para isso, vamos precisar entender como as séries de potências funcionam e como aplicá-las para resolver equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser escrita como uma série de potências em torno de
. Ou seja:
Isso significa que queremos encontrar os coeficientes
que satisfaçam a equação diferencial dada.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
que aparecem na equação:
Passo 4
Substituindo
e
na equação diferencial
:
Distribuindo o
:
Passo 5
Agora, organizamos os termos por potências de
:
Para que essa igualdade seja válida para todo
, cada coeficiente de
deve ser igual a zero. Assim, temos as seguintes equações:
Passo 6
Resolvendo as equações encontradas:
- De
, temos . - De
, isolamos : . - De
, isolamos : . - De
, confirma que , que já sabemos.
Passo 7
Agora, para encontrar os primeiros 4 termos da série, precisamos escolher valores para
e
. Geralmente,
e
são determinados pelas condições iniciais, mas como não temos, vamos mantê-los como constantes.
Então, a série até
fica:
Resposta
A solução por séries de potências da equação
em torno de
, com os primeiros 4 termos, é: