IFRN - Campus Natal Central Licenciatura em Física
Equações Diferenciais Ordinárias (2024.2)
Prof. Tibério Alves, DSc
8 de fevereiro de 2025
Lista III - Método das séries de potências
Questão 1. Encontre a solução por séries de potências de x (em torno de x0=0 ), para as seguintes EDOs (expresse os primeiros 4 termos de cada série).
y^prime prime-2 x y=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária usando séries de potências. A questão pede para encontrar a solução de y'' - 2x y = 0 em torno de x0 = 0 e expressar os primeiros 4 termos da série. Para isso, vamos precisar entender como as séries de potências funcionam e como aplicá-las para resolver equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução y(x) pode ser escrita como uma série de potências em torno de x0 = 0 . Ou seja:
y(x) = sumn=0^infty an x^n = a0 + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 + dots
Isso significa que queremos encontrar os coeficientes an que satisfaçam a equação diferencial dada.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de y(x) que aparecem na equação:
y'(x) = sumn=1^infty n an x^n-1 = a1 + 2 a2 x + 3 a3 x^2 + dots
y''(x) = sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2 = 2 a2 + 6 a3 x + 12 a4 x^2 + dots

Passo 4

Substituindo y e y'' na equação diferencial y'' - 2x y = 0 :
2 a2 + 6 a3 x + 12 a4 x^2 + dots - 2x (a0 + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 + dots) = 0
Distribuindo o -2x :
2 a2 + 6 a3 x + 12 a4 x^2 + dots - 2 a0 x - 2 a1 x^2 - 2 a2 x^3 - dots = 0

Passo 5

Agora, organizamos os termos por potências de x :
(2 a2) + (6 a3 - 2 a0) x + (12 a4 - 2 a1) x^2 + (-2 a2) x^3 + dots = 0
Para que essa igualdade seja válida para todo x , cada coeficiente de x^n deve ser igual a zero. Assim, temos as seguintes equações:
2 a2 = 0 (n=0)
6 a3 - 2 a0 = 0 (n=1)
12 a4 - 2 a1 = 0 (n=2)
-2 a2 = 0 (n=3)
vdots

Passo 6

Resolvendo as equações encontradas:
  1. De 2 a2 = 0 , temos a2 = 0 .
  2. De 6 a3 - 2 a0 = 0 , isolamos a3 : a3 = 2 a06 = a03 .
  3. De 12 a4 - 2 a1 = 0 , isolamos a4 : a4 = 2 a112 = a16 .
  4. De -2 a2 = 0 , confirma que a2 = 0 , que já sabemos.

Passo 7

Agora, para encontrar os primeiros 4 termos da série, precisamos escolher valores para a0 e a1 . Geralmente, a0 e a1 são determinados pelas condições iniciais, mas como não temos, vamos mantê-los como constantes.
Então, a série até x^3 fica:
y(x) = a0 + a1 x + 0 cdot x^2 + ( a03 ) x^3 + dots

Resposta

A solução por séries de potências da equação y'' - 2x y = 0 em torno de x0 = 0 , com os primeiros 4 termos, é:
y(x) = a0 + a1 x + a03 x^3 + dots

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