(Ufjf) Os comprimentos das circunferências de uma sequência de círculos concêntricos formam uma progressão geométrica de razão 3. As áreas desses círculos formam uma:
(a) progressão geométrica de razão 9
(b) progressão aritmética de razão 1 / 3
(c) progressão geométrica de razão 1 / 3
(d) progressão aritmética de razão 9
(e) progressão geométrica de razão 1/9

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Informação: os comprimentos das circunferências de uma sequência de círculos concêntricos formam uma progressão geométrica (PG) de razão 3.
  • Informação implícita útil: cada círculo tem raio associado; circunferência e área dependem do raio.
  • Pergunta: que tipo de progressão (se houver) as áreas desses círculos formam e qual é a razão? (Opções dadas no enunciado: (a) PG razão 9; (b) PA razão 1/3; (c) PG razão 1/3; (d) PA razão 9; (e) PG razão 1/9.)

Passo 2

Primeiro lembrete importante (fórmula e o que cada símbolo quer dizer):
  • A circunferência C de um círculo de raio r é dada por
C = 2\pi r,
onde \pi é a constante geométrica e r é o raio do círculo.
Explicação curta: isso significa que C é diretamente proporcional a r. Se r dobra, C dobra; se r multiplica por qualquer fator k, então C também multiplica por k.

Passo 3

Definição de progressão geométrica usada aqui:
  • Uma sequência \{x_n\} é uma PG de razão q se vale
x_n = x_1 \cdot q^{\,n-1}
para todo n\ge 1, onde x_1 é o primeiro termo e q é a razão (ou seja, x_{n+1}/x_n = q para todo n).
Aplicando ao dado: se os comprimentos das circunferências formam uma PG de razão 3, então, chamando C_n o comprimento do n-ésimo círculo,
C_n = C_1 \cdot 3^{\,n-1}.

Passo 4

Relacionando circunferência com raio: usando C_n = 2\pi r_n, temos
r_n = \frac{C_n}{2\pi}.
Substituindo a expressão de C_n,
r_n = \frac{C_1}{2\pi}\cdot 3^{\,n-1}.
Como \dfrac{C_1}{2\pi} é uma constante (é justamente o primeiro raio r_1), isso mostra que os raios \{r_n\} também formam uma PG e têm a mesma razão 3. Em outras palavras, cada raio é obtido multiplicando o anterior por 3.

Passo 5

Fórmula da área e o que cada símbolo significa:
  • A área A de um círculo de raio r é
A = \pi r^2,
onde r é o raio. Isso significa que a área é proporcional ao quadrado do raio: se o raio for multiplicado por um fator k, a área é multiplicada por k^2.

Passo 6

Agora calcule a sequência das áreas usando r_n. Temos
A_n = \pi r_n^2.
Substituindo r_n = r_1\cdot 3^{\,n-1} (como obtido no Passo 4),
A_n = \pi \bigl(r_1\cdot 3^{\,n-1}\bigr)^{2} = \pi r_1^{2}\cdot 3^{\,2(n-1)}.
Reescrevendo 3^{2(n-1)} como (3^2)^{\,n-1}=9^{\,n-1}, obtemos
A_n = \bigl(\pi r_1^{2}\bigr)\cdot 9^{\,n-1}.
Isso é exatamente a forma de uma progressão geométrica com primeiro termo A_1=\pi r_1^{2} e razão 9.

Passo 7

Interpretação didática e rápida: porque a circunferência é proporcional a r e a área é proporcional a r^2, se os comprimentos multiplicam por 3 de uma etapa para a outra, os raios também multiplicam por 3, e as áreas multiplicam por 3^2=9. Ou seja, a sequência das áreas é uma PG de razão 9.

Passo 8

Exemplo numérico para fixar (muito prático): escolha r_1 = 1.
  • Então C_1 = 2\pi. Como as circunferências têm razão 3, C_2 = 6\pi, C_3 = 18\pi etc.
  • Os raios correspondentes serão r_1=1, r_2=3, r_3=9.
  • As áreas serão A_1=\pi, A_2=9\pi, A_3=81\pi, notando que cada termo é obtido multiplicando o anterior por 9. Isso confirma concretamente que a razão das áreas é 9.

Passo 9

Eliminação rápida das outras opções (para tirar dúvidas):
  • Não é progressão aritmética porque as diferenças entre áreas não são constantes (por exemplo no exemplo anterior as diferenças 9\pi-\pi=8\pi e 81\pi-9\pi=72\pi são diferentes).
  • As outras razões geométricas listadas ( 1/3, 1/9) não aparecem nas contas; a razão correta vem de elevar a razão dos raios ao quadrado, ou seja 3^2=9.

Resposta

(a) progressão geométrica de razão 9

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