(Ufjf) Os comprimentos das circunferências de uma sequência de círculos concêntricos formam uma progressão geométrica de razão 3. As áreas desses círculos formam uma:
(a) progressão geométrica de razão 9
(b) progressão aritmética de razão
(c) progressão geométrica de razão
(d) progressão aritmética de razão 9
(e) progressão geométrica de razão 1/9
(a) progressão geométrica de razão 9
(b) progressão aritmética de razão
(c) progressão geométrica de razão
(d) progressão aritmética de razão 9
(e) progressão geométrica de razão 1/9
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- Informação: os comprimentos das circunferências de uma sequência de círculos concêntricos formam uma progressão geométrica (PG) de razão
. - Informação implícita útil: cada círculo tem raio associado; circunferência e área dependem do raio.
- Pergunta: que tipo de progressão (se houver) as áreas desses círculos formam e qual é a razão? (Opções dadas no enunciado: (a) PG razão
; (b) PA razão ; (c) PG razão ; (d) PA razão ; (e) PG razão .)
Passo 2
Primeiro lembrete importante (fórmula e o que cada símbolo quer dizer):
- A circunferência
de um círculo de raio é dada por
onde
é a constante geométrica e
é o raio do círculo.
Explicação curta: isso significa que
é diretamente proporcional a
. Se
dobra,
dobra; se
multiplica por qualquer fator
, então
também multiplica por
.
Passo 3
Definição de progressão geométrica usada aqui:
- Uma sequência
é uma PG de razão se vale
para todo
, onde
é o primeiro termo e
é a razão (ou seja,
para todo
).
Aplicando ao dado: se os comprimentos das circunferências formam uma PG de razão
, então, chamando
o comprimento do
-ésimo círculo,
Passo 4
Relacionando circunferência com raio: usando
, temos
Substituindo a expressão de
,
Como
é uma constante (é justamente o primeiro raio
), isso mostra que os raios
também formam uma PG e têm a mesma razão
. Em outras palavras, cada raio é obtido multiplicando o anterior por
.
Passo 5
Fórmula da área e o que cada símbolo significa:
- A área
de um círculo de raio é
onde
é o raio. Isso significa que a área é proporcional ao quadrado do raio: se o raio for multiplicado por um fator
, a área é multiplicada por
.
Passo 6
Agora calcule a sequência das áreas usando
. Temos
Substituindo
(como obtido no Passo 4),
Reescrevendo
como
, obtemos
Isso é exatamente a forma de uma progressão geométrica com primeiro termo
e razão
.
Passo 7
Interpretação didática e rápida: porque a circunferência é proporcional a
e a área é proporcional a
, se os comprimentos multiplicam por
de uma etapa para a outra, os raios também multiplicam por
, e as áreas multiplicam por
. Ou seja, a sequência das áreas é uma PG de razão
.
Passo 8
Exemplo numérico para fixar (muito prático): escolha
.
- Então
. Como as circunferências têm razão , , etc. - Os raios correspondentes serão
, , . - As áreas serão
, , , notando que cada termo é obtido multiplicando o anterior por . Isso confirma concretamente que a razão das áreas é .
Passo 9
Eliminação rápida das outras opções (para tirar dúvidas):
- Não é progressão aritmética porque as diferenças entre áreas não são constantes (por exemplo no exemplo anterior as diferenças
e são diferentes). - As outras razões geométricas listadas (
, ) não aparecem nas contas; a razão correta vem de elevar a razão dos raios ao quadrado, ou seja .
Resposta
(a) progressão geométrica de razão