Quais das igualdades a seguir são sempre verdadeiras, e quais nem sempre são verdadeiras? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando se a igualdade
é sempre verdadeira ou não. Aqui estamos trabalhando com vetores e operações de produto vetorial (
) e produto escalar (
). Para resolver isso, vamos precisar entender como essas operações funcionam e quais são suas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o produto vetorial. Quando fazemos
, estamos encontrando um vetor que é perpendicular tanto a
quanto a
. Isso significa que o resultado do produto vetorial está sempre numa direção que não está na mesma direção de
nem de
.
Passo 3
Agora, vamos pensar no produto escalar. Quando calculamos
, estamos tomando o produto escalar de dois vetores:
e
. O produto escalar mede o quanto dois vetores estão na mesma direção. Se for zero, significa que eles são perpendiculares.
Passo 4
Como vimos que
é perpendicular a
, o produto escalar entre eles deve ser zero. Vamos colocar isso matematicamente:
Isso ocorre porque o ângulo entre
e
é de 90 graus, e o cosseno de 90 graus é zero, o que faz o produto escalar ser zero.
Resposta
A igualdade
é sempre verdadeira, porque o vetor resultante do produto vetorial
é perpendicular a
, fazendo com que o produto escalar entre eles seja zero.