Quais das igualdades a seguir são sempre verdadeiras, e quais nem sempre são verdadeiras? Justifique sua resposta.
(u times v) cdot v=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando se a igualdade (u times v) cdot v = 0 é sempre verdadeira ou não. Aqui estamos trabalhando com vetores e operações de produto vetorial ( times) e produto escalar ( cdot). Para resolver isso, vamos precisar entender como essas operações funcionam e quais são suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o produto vetorial. Quando fazemos u times v, estamos encontrando um vetor que é perpendicular tanto a u quanto a v. Isso significa que o resultado do produto vetorial está sempre numa direção que não está na mesma direção de u nem de v.

Passo 3

Agora, vamos pensar no produto escalar. Quando calculamos (u times v) cdot v, estamos tomando o produto escalar de dois vetores: u times v e v. O produto escalar mede o quanto dois vetores estão na mesma direção. Se for zero, significa que eles são perpendiculares.

Passo 4

Como vimos que u times v é perpendicular a v, o produto escalar entre eles deve ser zero. Vamos colocar isso matematicamente:
(u times v) cdot v = 0
Isso ocorre porque o ângulo entre u times v e v é de 90 graus, e o cosseno de 90 graus é zero, o que faz o produto escalar ser zero.

Resposta

A igualdade (u times v) cdot v = 0 é sempre verdadeira, porque o vetor resultante do produto vetorial u times v é perpendicular a v, fazendo com que o produto escalar entre eles seja zero.

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