Quais das igualdades a seguir são sempre verdadeiras, e quais nem sempre são verdadeiras? Justifique sua resposta.
(u times v) cdot w=u cdot(v times w)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está perguntando se a igualdade (u times v) cdot w = u cdot (v times w) é sempre verdadeira ou não. A matéria envolvida aqui é Álgebra Vetorial, especificamente operações com produtos vetoriais e escalares. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o produto vetorial ( times) e o produto escalar ( cdot) entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são essas operações:
  • Produto Vetorial ( times): Dado dois vetores, a e b, o produto vetorial resulta em um vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A magnitude desse vetor é igual à área do paralelogramo formado por a e b.
  • Produto Escalar ( cdot): Dado dois vetores, a e b, o produto escalar resulta em um número (escalar) que é igual ao produto das magnitudes dos vetores multiplicado pelo cosseno do ângulo entre eles.

Passo 3

Agora, vamos analisar o lado esquerdo da igualdade: (u times v) cdot w. Aqui, primeiro fazemos o produto vetorial de u e v, que nos dá um vetor perpendicular a ambos. Depois, fazemos o produto escalar desse resultado com w. Esse tipo de operação é conhecido como produto misto ou triplo.

Passo 4

No lado direito da igualdade: u cdot (v times w). Aqui, primeiro fazemos o produto vetorial de v e w, obtendo um vetor perpendicular a ambos. Depois, fazemos o produto escalar desse resultado com u.

Passo 5

Existe uma propriedade importante no produto misto que diz que a ordem dos vetores no produto escalar após o produto vetorial não altera o resultado. Ou seja:
(u times v) cdot w = u cdot (v times w)
Isso acontece porque ambos os lados da igualdade representam o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores.

Resposta

A igualdade (u times v) cdot w = u cdot (v times w) é sempre verdadeira.

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