Quais das igualdades a seguir são sempre verdadeiras, e quais nem sempre são verdadeiras? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está perguntando se a igualdade
é sempre verdadeira ou não. A matéria envolvida aqui é Álgebra Vetorial, especificamente operações com produtos vetoriais e escalares. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o produto vetorial (
) e o produto escalar (
) entre vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são essas operações:
-
Produto Vetorial (
): Dado dois vetores, e , o produto vetorial resulta em um vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A magnitude desse vetor é igual à área do paralelogramo formado por e . -
Produto Escalar (
): Dado dois vetores, e , o produto escalar resulta em um número (escalar) que é igual ao produto das magnitudes dos vetores multiplicado pelo cosseno do ângulo entre eles.
Passo 3
Agora, vamos analisar o lado esquerdo da igualdade:
. Aqui, primeiro fazemos o produto vetorial de
e
, que nos dá um vetor perpendicular a ambos. Depois, fazemos o produto escalar desse resultado com
. Esse tipo de operação é conhecido como produto misto ou triplo.
Passo 4
No lado direito da igualdade:
. Aqui, primeiro fazemos o produto vetorial de
e
, obtendo um vetor perpendicular a ambos. Depois, fazemos o produto escalar desse resultado com
.
Passo 5
Existe uma propriedade importante no produto misto que diz que a ordem dos vetores no produto escalar após o produto vetorial não altera o resultado. Ou seja:
Isso acontece porque ambos os lados da igualdade representam o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores.
Resposta
A igualdade
é sempre verdadeira.