Quais das igualdades a seguir são sempre verdadeiras? Quais nem sempre são verdadeiras? Justifique sua resposta.
u cdot v=v cdot u

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a igualdade
ucdotv = vcdotu
é sempre verdadeira ou se em algum caso pode falhar. O conteúdo aqui é produto escalar em R^n e sua propriedade de comutatividade.

Passo 2

Pela definição, se u=(u1,u2,dots,un) e v=(v1,v2,dots,vn), então
ucdotv = sumi=1^n ui,vi e vcdotu = sumi=1^n vi,ui

Passo 3

Como o produto de números reais é comutativo, ou seja, ui,vi = vi,ui para todo i, cada termo das somas coincide. Logo
sumi=1^n ui,vi = sumi=1^n vi,ui
o que demonstra que o produto escalar é comutativo.

Resposta

A igualdade ucdotv = vcdotu é sempre verdadeira, pois decorre da comutatividade do produto de escalares em R.

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