Quais das igualdades a seguir são sempre verdadeiras? Quais nem sempre são verdadeiras? Justifique sua resposta.
u times v=-(v times u)

Passo 1

O enunciado pergunta se, para vetores u e v em R^3, vale sempre a igualdade
utimesv = -l(vtimesur)
O conteúdo é a propriedade anti-comutativa do produto vetorial, e precisaremos usar a definição determinantal ou o argumento da troca de linhas no determinante.

Passo 2

Pelo produto vetorial em coordenadas, escrevemos
utimesv = i & j & k u1 & u2 & u3 v1 & v2 & v3
Se trocarmos as duas últimas linhas (isto é, os vetores u e v), o valor do determinante muda de sinal:
i & j & k v1 & v2 & v3 u1 & u2 & u3 =- i & j & k u1 & u2 & u3 v1 & v2 & v3
O primeiro determinante é exatamente vtimesu, e o segundo é utimesv.

Passo 3

Da troca de linhas segue que
vtimesu = -l(utimesvr),
ou seja,
utimesv = -l(vtimesur)
Por ser derivado diretamente da definição do produto vetorial em R^3, essa igualdade vale para quaisquer vetores u e v.

Resposta

A igualdade é sempre verdadeira.

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