Quais das igualdades a seguir são sempre verdadeiras? Quais nem sempre são verdadeiras? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pergunta se, para vetores e em , vale sempre a igualdade
O conteúdo é a propriedade anti-comutativa do produto vetorial, e precisaremos usar a definição determinantal ou o argumento da troca de linhas no determinante.
Passo 2
Pelo produto vetorial em coordenadas, escrevemos
Se trocarmos as duas últimas linhas (isto é, os vetores u e v), o valor do determinante muda de sinal:
i & j & k v1 & v2 & v3 u1 & u2 & u3 =- i & j & k u1 & u2 & u3 v1 & v2 & v3
O primeiro determinante é exatamente vtimesu, e o segundo é utimesv.
Passo 3
Da troca de linhas segue que
vtimesu = -l(utimesvr),
ou seja,
utimesv = -l(vtimesur)
Por ser derivado diretamente da definição do produto vetorial em R^3, essa igualdade vale para quaisquer vetores u e v.