A Regra de Cramer consiste num método para se resolver um sistema linear normal. Consideremos o sistema de n equações lineares a n incógnitas.
c a11 x1+a12 x2+ldots+a1 n xn=b1 a21 x1+a22 x2+ldots+a2 n xn=b2 ldots am 1 x1+am 2 x2+ldots+am n xn=bn
Consideremos os seguintes determinantes, cujas matrizes são formadas com os coeficientes do sistema dado:
a) Determinantes dos coeficientes:
De<a=|cccc a11 & a12 & ldots & a1 n a21 & a22 & ldots & a2 n ldots & ldots & ldots & ldots am 1 & am 2 & ldots & am n |
b) Determinantes das incógnitas:
De<a x1=|ccccb1 & a12 & ldots & a1 n b2 & a22 & ldots & a2 n ldots & ldots & ldots & ldots bn & am 2 & ldots & am n|
De<a x1 é o determinante obtido de De<a, substituindo-se a coluna dos coeficientes x1 pela coluna dos temos independentes.
De<a x2=|cccc a11 & b1 & ldots & a1 n a21 & b2 & ldots & a2 n ldots & ldots & ldots & ldots am 1 & bn & ldots & am n |
De<a x2 é o determinante obtido de De<a, substituindo-se a coluna dos coeficientes x2 pela coluna dos temos independentes.
E assim sucessivamente, até De<a xn
De<a xn=|cccc a11 & a12 & ldots & b1 a21 & a22 & ldots & b2 ldots & ldots & ldots & ldots am 1 & am 2 & ldots & bn |
Para obtermos sua solução, calculamos:
1^circ ) ( De<a ) determinante da matriz formada pelos coeficientes das variáveis do sistema.
2^circ)(De<a x1, De<a x2, ldots, De<a xn) determinantes das matrizes obtidas a partir de De<a, substituindo a coluna dos coeficientes pela coluna dos termos independentes do sistema.
3^circ ) A solução do sistema linear é dada por:
x1=De<a x1De<a, x2=De<a x2De<a, ldots, xn=De<a xnDe<a
Resolva os sistemas a seguir, utilizando a regra de cramer.
a) lx+2 y-z=2 2 x-y+3 z=9 3 x+3 y-2 z=3
b) l2 a-b+c=3 a-b+2 c=3 a+b+c=6
c) l2 x-y-4 z=3 -x+3 y+z=-10 3 x+2 y-2 z=-2
d) lx+y-10=0 x-z-5=0 y-z-3=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por meio da regra de Cramer, quatro sistemas lineares 3times3. Vamos montar a matriz de coeficientes A, calcular seu determinante De<a=det(A) e depois as matrizes obtidas ao substituir cada coluna pelos termos independentes, cujos determinantes são De<ax1,De<ax2,De<ax3. A solução será
xi=De<axiDe<a, i=1,2,3

Passo 2

Para
x+2y-z=2, 2x-y+3z=9, 3x+3y-2z=3
temos
A= 1 & 2 & -1 2 & -1 & 3 3 & 3 & -2 , b=(2,9,3)
O determinante da matriz de coeficientes é
De<a= 1-1 & 33 & -2 -22 & 33 & -2 +(-1)2 & -13 & 3 =-7+26-9=10
Substituindo a primeira coluna por b:
De<ax= 2 & 2 & -1 9 & -1 & 3 3 & 3 & -2 =10,
para a segunda:
De<ay= 1 & 2 & -1 2 & 9 & 3 3 & 3 & -2 =20,
e para a terceira:
De<az= 1 & 2 & 2 2 & -1 & 9 3 & 3 & 3 =30
Logo
x=1010=1, y=2010=2, z=3010=3

Passo 3

Para
2a-b+c=3, a-b+2c=3, a+b+c=6
temos
A= 2 & -1 & 1 1 & -1 & 2 1 & 1 & 1 , b=(3,3,6)
Calculamos
De<a= 2-1 & 21 & 1 -(-1)1 & 21 & 1 +11 & -11 & 1 =-6-1+2=-5
Substituindo colunas:
De<aa= 3 & -1 & 1 3 & -1 & 2 6 & 1 & 1 =-9, De<ab= 2 & 3 & 1 1 & 3 & 2 1 & 6 & 1 =-12, De<ac= 2 & -1 & 3 1 & -1 & 3 1 & 1 & 6 =-9
Assim
a=-9-5=95, b=-12-5=125, c=-9-5=95

Passo 4

Para
2x-y-4z=3, - x+3y+z=-10, 3x+2y-2z=-2
temos
A= 2 & -1 & -4 -1 & 3 & 1 3 & 2 & -2 , b=(3,-10,-2)
O determinante é
De<a= 23 & 12 & -2 -(-1)-1 & 13 & -2 +(-4)-1 & 33 & 2 =-16-1+44=27
As substituições dão
De<ax= 3 & -1 & -4 -10 & 3 & 1 -2 & 2 & -2 =54, De<ay= 2 & 3 & -4 -1 & -10 & 1 3 & -2 & -2 =-81, De<az= 2 & -1 & 3 -1 & 3 & -10 3 & 2 & -2 =27
Portanto
x=5427=2, y=-8127=-3, z=2727=1

Passo 5

Para
x+y-10=0, x-z-5=0, y-z-3=0
reesc. em Ax= b com
A= 1 & 1 & 0 1 & 0 & -1 0 & 1 & -1 , b=(10,5,3)
De<a= 10 & -11 & -1 -11 & -10 & -1 =1+1=2
E
De<ax= 10 & 1 & 0 5 & 0 & -1 3 & 1 & -1 =12, De<ay= 1 & 10 & 0 1 & 5 & -1 0 & 3 & -1 =8, De<az= 1 & 1 & 10 1 & 0 & 5 0 & 1 & 3 =2
Logo
x=122=6, y=82=4, z=22=1

Resposta

(a) (x,y,z)=(1,2,3)
(b) (a,b,c)=l(tfrac95,tfrac125,tfrac95r)
(c) (x,y,z)=(2,-3,1)
(d) (x,y,z)=(6,4,1)

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