Quais das igualdades a seguir são sempre verdadeiras? Quais nem sempre são verdadeiras? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a igualdade
é sempre verdadeira ou não. Vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente sobre o produto vetorial, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores
e
resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois vetores originais e cuja magnitude é dada por
, onde
é o ângulo entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o que acontece quando um dos vetores é multiplicado por -1. Se multiplicarmos o vetor
por -1, temos
. Geometricamente, isso significa que o vetor
aponta na direção oposta a
, mas com a mesma magnitude.
Passo 4
Vamos calcular o produto vetorial
. Pela propriedade do produto vetorial, podemos fatorar o escalar -1:
Isso mostra que multiplicar um vetor por -1 antes de realizar o produto vetorial é o mesmo que multiplicar o resultado do produto vetorial por -1.
Passo 5
Como vimos, a igualdade
é derivada diretamente das propriedades do produto vetorial. Não há restrições ou condições especiais para que isso seja verdadeiro; funciona para quaisquer vetores
e
.
Resposta
A igualdade
é sempre verdadeira para quaisquer vetores
e
.