Quais das igualdades a seguir são sempre verdadeiras? Quais nem sempre são verdadeiras? Justifique sua resposta.
(-u) times v=-(u times v)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a igualdade (-u) times v = -(u times v) é sempre verdadeira ou não. Vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente sobre o produto vetorial, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores u e v resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois vetores originais e cuja magnitude é dada por |u||v|sin(theta) , onde theta é o ângulo entre u e v .

Passo 3

Agora, vamos analisar o que acontece quando um dos vetores é multiplicado por -1. Se multiplicarmos o vetor u por -1, temos -u . Geometricamente, isso significa que o vetor -u aponta na direção oposta a u , mas com a mesma magnitude.

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial (-u) times v . Pela propriedade do produto vetorial, podemos fatorar o escalar -1:
(-u) times v = -(u times v)
Isso mostra que multiplicar um vetor por -1 antes de realizar o produto vetorial é o mesmo que multiplicar o resultado do produto vetorial por -1.

Passo 5

Como vimos, a igualdade (-u) times v = -(u times v) é derivada diretamente das propriedades do produto vetorial. Não há restrições ou condições especiais para que isso seja verdadeiro; funciona para quaisquer vetores u e v .

Resposta

A igualdade (-u) times v = -(u times v) é sempre verdadeira para quaisquer vetores u e v .

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