Quais das igualdades a seguir são sempre verdadeiras? Quais nem sempre são verdadeiras? Justifique sua resposta.
c(u times v)=(c u) times v=u times(c v) (qualquer número c )

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos verificar quais das igualdades c(u times v) = (c u) times v = u times (c v) são sempre verdadeiras para qualquer número c . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente sobre o produto vetorial e a propriedade de distribuição em relação à multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, lembremos que o produto vetorial u times v resulta em um vetor que é perpendicular aos vetores u e v . Uma propriedade importante do produto vetorial é a bilinearidade, que nos diz que ele é linear em cada um dos vetores participantes separadamente.

Passo 3

Vamos verificar a primeira igualdade: c(u times v) = (c u) times v .
Pela propriedade de bilinearidade, podemos distribuir o escalar c sobre o produto vetorial:
c(u times v) = (c u) times v
Isso mostra que a igualdade é verdadeira para qualquer escalar c .

Passo 4

Agora, vamos verificar a segunda igualdade: (c u) times v = u times (c v) .
Usando novamente a bilinearidade, temos:
(c u) times v = c (u times v) = u times (c v)
Isso confirma que essa igualdade também é verdadeira para qualquer escalar c .

Resposta

Todas as igualdades c(u times v) = (c u) times v = u times (c v) são sempre verdadeiras para qualquer número c .

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