Quais das igualdades a seguir são sempre verdadeiras? Quais nem sempre são verdadeiras? Justifique sua resposta.
(qualquer número
)
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: precisamos verificar quais das igualdades
são sempre verdadeiras para qualquer número
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente sobre o produto vetorial e a propriedade de distribuição em relação à multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, lembremos que o produto vetorial
resulta em um vetor que é perpendicular aos vetores
e
. Uma propriedade importante do produto vetorial é a bilinearidade, que nos diz que ele é linear em cada um dos vetores participantes separadamente.
Passo 3
Vamos verificar a primeira igualdade:
.
Pela propriedade de bilinearidade, podemos distribuir o escalar
sobre o produto vetorial:
Isso mostra que a igualdade é verdadeira para qualquer escalar
.
Passo 4
Agora, vamos verificar a segunda igualdade:
.
Usando novamente a bilinearidade, temos:
Isso confirma que essa igualdade também é verdadeira para qualquer escalar
.
Resposta
Todas as igualdades
são sempre verdadeiras para qualquer número
.