Quais das igualdades a seguir são sempre verdadeiras? Quais nem sempre são verdadeiras? Justifique sua resposta.
(qualquer número
)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta se as igualdades
são sempre verdadeiras, independente do número
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de produto escalar e propriedades de vetores na álgebra vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o produto escalar. O produto escalar entre dois vetores
e
, denotado por
, resulta em um número que é igual a
, onde
é o ângulo entre eles. Além disso, o produto escalar é distributivo em relação à adição e à multiplicação por escalar, ou seja:
Passo 3
Vamos analisar a primeira igualdade:
. Aqui, multiplicamos o vetor
pelo escalar
e depois fazemos o produto escalar com
. Usando a propriedade que mencionamos, isso fica:
Passo 4
Agora, a segunda parte da igualdade:
. Nesse caso, multiplicamos o vetor
pelo escalar
e depois fazemos o produto escalar com
. Aplicando a mesma propriedade:
Passo 5
Finalmente, juntando as duas partes, temos:
Isso mostra que todas as igualdades são equivalentes e sempre resultam em
, independente do valor de
.
Resposta
Todas as igualdades são sempre verdadeiras para qualquer número
. Portanto,
.