Quais das igualdades a seguir são sempre verdadeiras? Quais nem sempre são verdadeiras? Justifique sua resposta.
(c u) cdot v=u cdot(c v)=c(u cdot v) (qualquer número c )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta se as igualdades (c u) cdot v = u cdot (c v) = c(u cdot v) são sempre verdadeiras, independente do número c. Para resolver isso, vamos usar conceitos de produto escalar e propriedades de vetores na álgebra vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o produto escalar. O produto escalar entre dois vetores a e b, denotado por a cdot b, resulta em um número que é igual a |a| |b| cos(theta), onde theta é o ângulo entre eles. Além disso, o produto escalar é distributivo em relação à adição e à multiplicação por escalar, ou seja:
  • a cdot (b + c) = a cdot b + a cdot c
  • (ka) cdot b = k(a cdot b)

Passo 3

Vamos analisar a primeira igualdade: (c u) cdot v. Aqui, multiplicamos o vetor u pelo escalar c e depois fazemos o produto escalar com v. Usando a propriedade que mencionamos, isso fica:
(c u) cdot v = c (u cdot v)

Passo 4

Agora, a segunda parte da igualdade: u cdot (c v). Nesse caso, multiplicamos o vetor v pelo escalar c e depois fazemos o produto escalar com u. Aplicando a mesma propriedade:
u cdot (c v) = c (u cdot v)

Passo 5

Finalmente, juntando as duas partes, temos:
(c u) cdot v = u cdot (c v) = c (u cdot v)
Isso mostra que todas as igualdades são equivalentes e sempre resultam em c (u cdot v), independente do valor de c.

Resposta

Todas as igualdades são sempre verdadeiras para qualquer número c. Portanto, (c u) cdot v = u cdot (c v) = c (u cdot v).

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