Quais das igualdades a seguir são sempre verdadeiras? Quais nem sempre são verdadeiras? Justifique sua resposta.
u cdot u=|u|^2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se, para qualquer vetor u em um espaço com produto interno (como R^n com o produto escalar usual), vale sempre a igualdade
ucdotu = lvert urvert^2
O conteúdo envolvido é a definição de norma induzida pelo produto escalar.

Passo 2

Por definição, a norma de um vetor u é dada por
lvert urvert = raizucdotu
Elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos
lvert urvert^2 = l(raizucdotur)^2 = ucdotu
Logo, a igualdade é uma consequência direta da definição de norma induzida pelo produto interno.

Resposta

A igualdade ucdotu=lvert urvert^2 é sempre verdadeira em qualquer espaço vetorial com produto interno.

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