Quais das igualdades a seguir são sempre verdadeiras? Quais nem sempre são verdadeiras? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se, para qualquer vetor
em um espaço com produto interno (como
com o produto escalar usual), vale sempre a igualdade
O conteúdo envolvido é a definição de norma induzida pelo produto escalar.
Passo 2
Por definição, a norma de um vetor
é dada por
Elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos
Logo, a igualdade é uma consequência direta da definição de norma induzida pelo produto interno.
Resposta
A igualdade
é sempre verdadeira em qualquer espaço vetorial com produto interno.