Seja gamma a curva obtida pela interseção do cilindro x^225+y^24=1 com o plano z=10-raiz212 y. Calcule integralgamma x d S.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que temos é calcular a integral integralgamma x , dS, onde gamma é a curva resultante da interseção do cilindro x^225 + y^24 = 1 com o plano z = 10 - raiz212 y. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo de integrais de linha. Precisamos parametrizar a curva gamma, encontrar a expressão para dS (que representa um elemento de comprimento ao longo da curva) e então calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva gamma. O cilindro x^225 + y^24 = 1 descreve uma elipse no plano xy. Podemos usar uma parametrização trigonométrica para elipses:
x = 5 cos theta
y = 2 sin theta
onde theta varia de 0 a 2pi.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a coordenada z usando a equação do plano z = 10 - raiz212 y. Substituindo y da parametrização:
z = 10 - raiz212 cdot 2 sin theta = 10 - raiz21 sin theta
Então, nossa parametrização completa da curva gamma fica:
r(theta) = (5 cos theta, 2 sin theta, 10 - raiz21 sin theta)

Passo 4

Para calcular a integral integralgamma x , dS, precisamos encontrar a expressão para dS. O elemento de comprimento ao longo da curva, dS, é dado pela norma do vetor derivada da parametrização:
dS = | drdtheta | dtheta
Vamos calcular a derivada de r(theta):
drdtheta = (-5 sin theta, 2 cos theta, -raiz21 cos theta)
A norma desse vetor é:
| drdtheta | = raiz(-5 sin theta)^2 + (2 cos theta)^2 + (-raiz21 cos theta)^2 = raiz25 sin^2 theta + 4 cos^2 theta + 21 cos^2 theta
Simplificando:
raiz25 sin^2 theta + 25 cos^2 theta = raiz25 (sin^2 theta + cos^2 theta) = raiz25 = 5
Então, dS = 5 dtheta.

Passo 5

Agora, substituímos x e dS na integral:
integralgamma x , dS = integral0^2pi 5 cos theta cdot 5 dtheta = 25 integral0^2pi cos theta dtheta
Sabemos que a integral de cos theta de 0 a 2pi é zero, pois as áreas positivas e negativas se cancelam:
25 [ sin theta ]0^2pi = 25 (0 - 0) = 0

Resposta

A integral integralgamma x , dS é igual a 0.

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