Seja a curva obtida pela interseção do cilindro com o plano . Calcule .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que temos é calcular a integral , onde é a curva resultante da interseção do cilindro com o plano . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo de integrais de linha. Precisamos parametrizar a curva , encontrar a expressão para (que representa um elemento de comprimento ao longo da curva) e então calcular a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva . O cilindro descreve uma elipse no plano . Podemos usar uma parametrização trigonométrica para elipses:
onde varia de a .
Passo 3
Agora, vamos encontrar a coordenada usando a equação do plano . Substituindo da parametrização:
Então, nossa parametrização completa da curva fica:
Passo 4
Para calcular a integral , precisamos encontrar a expressão para . O elemento de comprimento ao longo da curva, , é dado pela norma do vetor derivada da parametrização:
Vamos calcular a derivada de r(theta):
drdtheta = (-5 sin theta, 2 cos theta, -raiz21 cos theta)
A norma desse vetor é:
| drdtheta | = raiz(-5 sin theta)^2 + (2 cos theta)^2 + (-raiz21 cos theta)^2 = raiz25 sin^2 theta + 4 cos^2 theta + 21 cos^2 theta