{ }^{a} Questão. ( \mathbf{3 , 0} \mathbf{~ p t s )} Calcule as integrais indefinidas
(a) \int e^{\operatorname{sen}(x)} \operatorname{sen}(x) \cos (x) d x

Solução:

Substituímos u=\operatorname{sen}(x) \Rightarrow d u=\cos (x) d x :
\int e^{u} \cdot u d u
Integração por partes:
\int u e^{u} d u=u e^{u}-\int e^{u} d u=u e^{u}-e^{u}+C
Voltando à variável original:
Resposta: \operatorname{sen}(x) e^{\operatorname{sen}(x)}-e^{\operatorname{sen}(x)}+C
(b) \int \operatorname{sen}(\sqrt{x}) d x \quad( dica: u=\sqrt{x}.

Solução:

Substituindo u=\sqrt{x} \Rightarrow x=u^{2} \Rightarrow d x=2 u d u :
\int \operatorname{sen}(\sqrt{x}) d x=\int \operatorname{sen}(u) \cdot 2 u d u=2 \int u \operatorname{sen}(u) d u
Integração por partes:
Seja u_{1}=u, d v=\operatorname{sen}(u) d u, então d u_{1}=d u, v=-\cos (u) :
2 \int u \operatorname{sen}(u) d u=2\left(-u \cos (u)+\int \cos (u) d u\right)=2(-u \cos (u)+\operatorname{sen}(u))+C
Voltando à variável original:
Resposta: -2 \sqrt{x} \cos (\sqrt{x})+2 \operatorname{sen}(\sqrt{x})+C

Passo 1

O enunciado pede o cálculo das integrais indefinidas
\int e^{\sin(x)}\,\sin(x)\,\cos(x)\,dx
e
\int \sin\bigl(\sqrt{x}\bigr)\,dx.
Para isso vamos usar substituição e, quando necessário, integração por partes.

Passo 2

Para a primeira integral, faça a troca
u = \sin(x),\quad du = \cos(x)\,dx.
Assim,
\int e^{\sin(x)}\,\sin(x)\,\cos(x)\,dx = \int e^{u}\,u\,du.

Passo 3

Calcule \displaystyle \int u\,e^{u}\,du\) por partes. Escolha \[\begin{cases} v = u, & dv = du,\\\ dw = e^{u}\,du, & w = e^{u}. \end{cases}
Logo,
\int u\,e^{u}\,du = u\,e^{u} - \int e^{u}\,du = u\,e^{u} - e^{u} + C.
Revertendo (u=\sin(x)], obtemos
\sin(x)\,e^{\sin(x)} - e^{\sin(x)} + C.

Passo 4

Para a segunda integral, use a substituição
t = \sqrt{x},\quad x = t^2,\quad dx = 2\,t\,dt.
Então
\int \sin\bigl(\sqrt{x}\bigr)\,dx = \int \sin(t)\cdot 2\,t\,dt = 2\int t\,\sin(t)\,dt.

Passo 5

Calcule \displaystyle \int t\,\sin(t)\,dt\) por partes. Tome \[\begin{cases} a = t, & da = dt,\\\ db = \sin(t)\,dt, & b = -\cos(t). \end{cases}
Então
\int t\,\sin(t)\,dt = -\,t\,\cos(t) + \int \cos(t)\,dt = -\,t\,\cos(t) + \sin(t) + C.
Multiplicando por 2 e revertendo (t=\sqrt{x}], resulta
-2\sqrt{x}\,\cos\bigl(\sqrt{x}\bigr) + 2\sin\bigl(\sqrt{x}\bigr) + C.

Resposta

(a) \sin(x)\,e^{\sin(x)} - e^{\sin(x)} + C
(b) -2\sqrt{x}\,\cos\bigl(\sqrt{x}\bigr) + 2\sin\bigl(\sqrt{x}\bigr) + C

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