(iii) Se A^3=I, então A é invertível.

Passo 1

O enunciado afirma que temos uma matriz quadrada A satisfazendo
A^3 = I,
e pede para mostrar que A é invertível. Lembrando a definição, uma matriz quadrada é invertível se existe uma matriz B tal que
A,B = B,A = I
Vamos, então, apresentar explicitamente uma candidata a inversa de A e verificar que ela funciona.

Passo 2

Considere a matriz A^2. Calculamos os dois produtos:
A,A^2 = A^3 = I,
A^2,A = A^3 = I
Isso mostra que A^2 é simultaneamente inversa à direita e inversa à esquerda de A.

Passo 3

Como uma matriz quadrada que possui inversa à direita e à esquerda é invertível (e essa inversa é única), concluímos que A é invertível e que sua inversa é
A^-1 = A^2

Resposta

A é invertível e A^-1 = A^2.

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