(iii) Se
, então
é invertível.
Passo 1
O enunciado afirma que temos uma matriz quadrada
satisfazendo
e pede para mostrar que
é invertível. Lembrando a definição, uma matriz quadrada é invertível se existe uma matriz
tal que
Vamos, então, apresentar explicitamente uma candidata a inversa de
e verificar que ela funciona.
Passo 2
Considere a matriz
. Calculamos os dois produtos:
Isso mostra que
é simultaneamente inversa à direita e inversa à esquerda de
.
Passo 3
Como uma matriz quadrada que possui inversa à direita e à esquerda é invertível (e essa inversa é única), concluímos que
é invertível e que sua inversa é
Resposta
A é invertível e
.