Passo 1
O enunciado pede o valor da integral dupla
onde a região
é dada por
Informações importantes extraídas do enunciado:
Portanto devemos avaliar a integral da função
sobre a região triangular acima.
Passo 2
Decisão do método: vamos usar coordenadas polares. Por quê? Porque o fator
sugere naturalmente usar
(o próprio
polar). Em coordenadas polares as variáveis e a área ficam simples:
e
. Vou explicar direitinho como fazer a mudança e por que ela ajuda.
Em polares:
Então o integrando
vira
Passo 3
Descrever a região
em coordenadas polares. Observando o triângulo:
- A reta
(eixo positivo) corresponde a . - A reta
(linha a ) corresponde a . - O limite superior em
é , que em polares é , ou seja .
Para pontos do triângulo,
varia entre
(linha
) e
(eixo
), e para cada
fixo
vai de
até a curva
. Logo a descrição em polares é
Passo 4
Escrever a integral em coordenadas polares usando os limites acima. Temos
Aqui já substituí
,
e juntei os fatores.
Passo 5
Resolver a integral interna em
:
Precisamos calcular
Precisamos calcular
Para isso usamos integração por partes repetida (ou a fórmula conhecida para
). Um antiderivado é
Explicando rapidamente: cada integração por partes reduz a potência de
até terminar; o resultado é
vezes um polinômio de grau 3 com coeficientes obtidos pelas etapas.
Avaliamo-lo entre
e
:
Note que ao substituir
no polinômio obtemos
, e há o
, então o termo final vira
. Portanto
onde
Passo 6
Voltar à integral em
. Lembrando do fator
que estava fora da integral em
, obtemos
Vamos expandir esse integrando para ficar mais explícito. Primeiro calculemos
.
Usando
e substituindo
em
:
Multiplicando por
(que é
) obtemos
Assim a integral fica
Passo 7
Calcular a parte elementar
. Usamos a identidade
logo
Avaliação de
a
:
Multiplicando por
dá
Passo 8
Juntando tudo, a integral original fica escrita de forma explícita e exata como
Esta expressão é uma forma final exata: realizámos a mudança para polares, executámos a integração em
explicitamente e simplificámos a parte que era elementar. A integral restante em
envolve a função
e não tem primitiva elementar em termos de funções elementares usuais, por isso deixamos nessa forma exata (é a forma adequada para avaliação numérica, se desejado).