\iint_{D} y^{2} e^{r} d A, \quad D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant y \leqslant 4,0 \leqslant x \leqslant y\}

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral dupla
\iint_{D} y^{2} e^{r}\, dA,
onde a região D é dada por
D=\{(x,y)\mid 0\le y\le 4,\;0\le x\le y\}.
Informações importantes extraídas do enunciado:
\text{(i) } D \text{ é o triângulo com vértices }(0,0),(0,4),(4,4);éâé
\text{(ii) } \text{o integrando é }y^{2}e^{r}\text{ onde }r\text{ representa }r=\sqrt{x^{2}+y^{2}};é
\text{(iii) } dA \text{ é a área no plano }(x,y).éá
Portanto devemos avaliar a integral da função y^{2} e^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} sobre a região triangular acima.

Passo 2

Decisão do método: vamos usar coordenadas polares. Por quê? Porque o fator e^{r} sugere naturalmente usar r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} (o próprio r polar). Em coordenadas polares as variáveis e a área ficam simples: x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta e dA = r\,dr\,d\theta. Vou explicar direitinho como fazer a mudança e por que ela ajuda.
Em polares:
y = r\sin\theta,\qquad r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},\qquad dA = r\,dr\,d\theta.
Então o integrando y^{2} e^{r}\,dA vira
(r\sin\theta)^{2}\,e^{r}\, (r\,dr\,d\theta) = r^{3}\sin^{2}\theta\; e^{r}\;dr\,d\theta.

Passo 3

Descrever a região D em coordenadas polares. Observando o triângulo:
  • A reta x=0 (eixo y positivo) corresponde a \theta=\tfrac{\pi}{2}.
  • A reta x=y (linha a 45^\circ) corresponde a \theta=\tfrac{\pi}{4}.
  • O limite superior em y é y=4, que em polares é r\sin\theta=4, ou seja r=\dfrac{4}{\sin\theta}.
Para pontos do triângulo, \theta varia entre \tfrac{\pi}{4} (linha x=y) e \tfrac{\pi}{2} (eixo y), e para cada \theta fixo r vai de 0 até a curva r=4/\sin\theta. Logo a descrição em polares é
0\le r \le \frac{4}{\sin\theta},\qquad \frac{\pi}{4}\le\theta\le\frac{\pi}{2}.

Passo 4

Escrever a integral em coordenadas polares usando os limites acima. Temos
\iint_{D} y^{2} e^{r}\,dA = \int_{\theta=\pi/4}^{\pi/2}\int_{r=0}^{4/\sin\theta} r^{3}\sin^{2}\theta\; e^{r}\;dr\,d\theta.
Aqui já substituí y=r\sin\theta, dA=r\,dr\,d\theta e juntei os fatores.

Passo 5

Resolver a integral interna em r:
Precisamos calcular
\int_{0}^{4/\sin\theta} r^{3} e^{r}\,dr.
Para isso usamos integração por partes repetida (ou a fórmula conhecida para \int r^{n} e^{r}\,dr). Um antiderivado é
\int r^{3} e^{r}\,dr = e^{r}\bigl(r^{3}-3r^{2}+6r-6\bigr)+C.
Explicando rapidamente: cada integração por partes reduz a potência de r até terminar; o resultado é e^{r} vezes um polinômio de grau 3 com coeficientes obtidos pelas etapas.
Avaliamo-lo entre r=0 e r=\dfrac{4}{\sin\theta}:
\int_{0}^{4/\sin\theta} r^{3} e^{r}\,dr = e^{4/\sin\theta}\Bigl(\Bigl(\frac{4}{\sin\theta}\Bigr)^{3} -3\Bigl(\frac{4}{\sin\theta}\Bigr)^{2} +6\Bigl(\frac{4}{\sin\theta}\Bigr) -6\Bigr)\;-\;e^{0}(-6).
Note que ao substituir r=0 no polinômio obtemos -6, e há o e^{0}=1, então o termo final vira +6. Portanto
\int_{0}^{4/\sin\theta} r^{3} e^{r}\,dr = e^{4/\sin\theta}\,P\!\left(\frac{4}{\sin\theta}\right) + 6,
onde
P(t)=t^{3}-3t^{2}+6t-6.

Passo 6

Voltar à integral em \theta. Lembrando do fator \sin^{2}\theta que estava fora da integral em r, obtemos
\iint_{D} y^{2} e^{r}\,dA = \int_{\pi/4}^{\pi/2} \sin^{2}\theta\left[e^{4/\sin\theta}\,P\!\left(\frac{4}{\sin\theta}\right)+6\right] d\theta.
Vamos expandir esse integrando para ficar mais explícito. Primeiro calculemos \sin^{2}\theta\cdot P\!\bigl(\tfrac{4}{\sin\theta}\bigr).
Usando s=\sin\theta e substituindo t=\tfrac{4}{s} em P(t):
P\!\left(\frac{4}{s}\right)=\frac{64}{s^{3}}-\frac{48}{s^{2}}+\frac{24}{s}-6.
Multiplicando por s^{2} (que é \sin^{2}\theta) obtemos
s^{2}\,P\!\left(\frac{4}{s}\right) = \frac{64}{s}-48+24s-6s^{2}.
Assim a integral fica
\iint_{D} y^{2} e^{r}\,dA = \int_{\pi/4}^{\pi/2} e^{4/\sin\theta}\!\left(\frac{64}{\sin\theta}-48+24\sin\theta-6\sin^{2}\theta\right)d\theta \;+\;6\int_{\pi/4}^{\pi/2}\sin^{2}\theta\,d\theta.

Passo 7

Calcular a parte elementar 6\int_{\pi/4}^{\pi/2}\sin^{2}\theta\,d\theta. Usamos a identidade
\sin^{2}\theta = \frac{1-\cos(2\theta)}{2},
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\int \sin^{2}\theta\,d\theta = \frac{\theta}{2}-\frac{\sin(2\theta)}{4}+C.
Avaliação de \theta=\pi/4 a \theta=\pi/2:
\int_{\pi/4}^{\pi/2}\sin^{2}\theta\,d\theta = \left(\frac{\pi}{4}-0\right) - \left(\frac{\pi}{8}-\frac{1}{4}\right) = \frac{\pi}{8}+\frac{1}{4}.
Multiplicando por 6
6\int_{\pi/4}^{\pi/2}\sin^{2}\theta\,d\theta = 6\Bigl(\frac{\pi}{8}+\frac{1}{4}\Bigr) = \frac{3\pi}{4}+\frac{3}{2}.

Passo 8

Juntando tudo, a integral original fica escrita de forma explícita e exata como
\iint_{D} y^{2} e^{r}\,dA = \frac{3\pi}{4}+\frac{3}{2} \;+\;\int_{\pi/4}^{\pi/2} e^{4/\sin\theta}\!\left(\frac{64}{\sin\theta}-48+24\sin\theta-6\sin^{2}\theta\right)d\theta.
Esta expressão é uma forma final exata: realizámos a mudança para polares, executámos a integração em r explicitamente e simplificámos a parte que era elementar. A integral restante em \theta envolve a função e^{4/\sin\theta} e não tem primitiva elementar em termos de funções elementares usuais, por isso deixamos nessa forma exata (é a forma adequada para avaliação numérica, se desejado).

Resposta

\frac{3\pi}{4}+\frac{3}{2} \;+\;\int_{\pi/4}^{\pi/2} e^{4/\sin\theta}\!\left(\frac{64}{\sin\theta}-48+24\sin\theta-6\sin^{2}\theta\right)d\theta

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