Passo 1
O enunciado pede para calcular duas integrais iteradas definidas. As expressões dadas são:
Informações relevantes que o enunciado dá:
- Na integral (1) a variável de integração interna é
, com , e a variável externa é , com . - Na integral (2) a variável de integração interna é
, com , e a variável externa é , com . - Em integrais iteradas, ao integrar em relação a uma variável tratamos a outra como constante.
Passo 2
Lembrete rápido e didático das regras que vamos usar (tudo bem, é chato, mas necessário):
- Para funções polinomiais, a primitiva de
é (para ). - Uma constante multiplicativa pode ser tirada da integral:
. - Quando integramos em relação a
, qualquer termo que dependa só de é tratado como constante (e vice‑versa). - Para integral definida, calculamos a primitiva e avaliamos nos limites:
.
Vou aplicar essas regras passo a passo nas duas integrais.
Passo 3
Resolver a integral (1): calcular primeiro a integral interna em
.
Escrevemos a integral interna:
Separe em duas integrais usando linearidade:
Aqui
é constante em relação a
. Calcule as primitivas:
- Para
, primitiva é . - Para
, primitiva é (pois ).
Agora avalie entre
e
:
Portanto a integral interna resulta em
.
Passo 4
Continuar integral (1): agora integrar em
de
a
:
Calcule as primitivas termo a termo:
- Primitiva de
é . - Primitiva de
é .
Logo
Some as frações:
Portanto a integral (1) vale
.
Passo 5
Agora resolver a integral (2). Primeiro fazemos a integral interna em
:
Aqui
é constante (pois integramos em
), então podemos tirar
para fora da integral:
A primitiva de
em relação a
é
. Avaliando entre
e
:
Simplifique:
Esse é o integrando para a integral externa em
.
Passo 6
Agora integramos em
de
a
:
Calcule as primitivas:
- Primitiva de
é . - Primitiva de
é (porque ).
Logo a primitiva do integrando é
. Avaliando de
a
:
Calcule termo a termo:
Portanto
Assim a integral (2) vale
.