\int_{0}^{1} \int_{0}^{x^{2}}(x+2 y) d y d x . \quad 2 . \quad \int_{1}^{2} \int_{y}^{2} x y d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular duas integrais iteradas definidas. As expressões dadas são:
\text{(1)}\quad \int_{0}^{1}\int_{0}^{x^{2}}(x+2y)\,dy\,dx
\text{(2)}\quad \int_{1}^{2}\int_{y}^{2} x y \,dx\,dy
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • Na integral (1) a variável de integração interna é y, com 0\le y\le x^{2}, e a variável externa é x, com 0\le x\le 1.
  • Na integral (2) a variável de integração interna é x, com y\le x\le 2, e a variável externa é y, com 1\le y\le 2.
  • Em integrais iteradas, ao integrar em relação a uma variável tratamos a outra como constante.

Passo 2

Lembrete rápido e didático das regras que vamos usar (tudo bem, é chato, mas necessário):
  • Para funções polinomiais, a primitiva de \,t^{n} é \displaystyle \frac{t^{n+1}}{n+1} (para n\neq -1).
  • Uma constante multiplicativa pode ser tirada da integral: \displaystyle \int a\cdot f(t)\,dt = a\int f(t)\,dt.
  • Quando integramos em relação a y, qualquer termo que dependa só de x é tratado como constante (e vice‑versa).
  • Para integral definida, calculamos a primitiva e avaliamos nos limites: \displaystyle \int_{a}^{b} F'(t)\,dt = F(b)-F(a).
Vou aplicar essas regras passo a passo nas duas integrais.

Passo 3

Resolver a integral (1): calcular primeiro a integral interna em y.
Escrevemos a integral interna:
\int_{0}^{x^{2}} (x+2y)\,dy
Separe em duas integrais usando linearidade:
\int_{0}^{x^{2}} x\,dy \;+\; \int_{0}^{x^{2}} 2y\,dy
Aqui x é constante em relação a y. Calcule as primitivas:
  • Para \int x\,dy, primitiva é x\cdot y.
  • Para \int 2y\,dy, primitiva é y^{2} (pois \dfrac{d}{dy}(y^{2})=2y).
Agora avalie entre y=0 e y=x^{2}:
\big[ x\cdot y \big]_{0}^{x^{2}} \;+\; \big[ y^{2} \big]_{0}^{x^{2}} = x\cdot x^{2} \;+\; (x^{2})^{2} - (0+0) = x^{3} + x^{4}.
Portanto a integral interna resulta em x^{3}+x^{4}.

Passo 4

Continuar integral (1): agora integrar em x de 0 a 1:
\int_{0}^{1} (x^{3}+x^{4})\,dx.
Calcule as primitivas termo a termo:
  • Primitiva de x^{3} é \dfrac{x^{4}}{4}.
  • Primitiva de x^{4} é \dfrac{x^{5}}{5}.
Logo
\int_{0}^{1} (x^{3}+x^{4})\,dx = \left[\dfrac{x^{4}}{4}+\dfrac{x^{5}}{5}\right]_{0}^{1} = \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}.
Some as frações:
\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5} = \dfrac{5}{20}+\dfrac{4}{20} = \dfrac{9}{20}.
Portanto a integral (1) vale \dfrac{9}{20}.

Passo 5

Agora resolver a integral (2). Primeiro fazemos a integral interna em x:
\int_{y}^{2} x y \,dx.
Aqui y é constante (pois integramos em x), então podemos tirar y para fora da integral:
y\int_{y}^{2} x \,dx.
A primitiva de x em relação a x é \dfrac{x^{2}}{2}. Avaliando entre x=y e x=2:
y\left[\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{x=y}^{x=2} = y\left(\dfrac{2^{2}}{2} - \dfrac{y^{2}}{2}\right) = y\left(2 - \dfrac{y^{2}}{2}\right).
Simplifique:
y\left(2 - \dfrac{y^{2}}{2}\right) = 2y - \dfrac{y^{3}}{2}.
Esse é o integrando para a integral externa em y.

Passo 6

Agora integramos em y de 1 a 2:
\int_{1}^{2} \left(2y - \dfrac{y^{3}}{2}\right)\,dy.
Calcule as primitivas:
  • Primitiva de 2y é y^{2}.
  • Primitiva de \dfrac{y^{3}}{2} é \dfrac{y^{4}}{8} (porque \dfrac{d}{dy}\!\left(\dfrac{y^{4}}{8}\right)=\dfrac{4y^{3}}{8}=\dfrac{y^{3}}{2}).
Logo a primitiva do integrando é y^{2} - \dfrac{y^{4}}{8}. Avaliando de 1 a 2:
\left[y^{2} - \dfrac{y^{4}}{8}\right]_{1}^{2} = \left(2^{2} - \dfrac{2^{4}}{8}\right) - \left(1^{2} - \dfrac{1^{4}}{8}\right).
Calcule termo a termo:
2^{2} = 4,\qquad \dfrac{2^{4}}{8}=\dfrac{16}{8}=2,\qquad 1^{2}=1,\qquad \dfrac{1^{4}}{8}=\dfrac{1}{8}.
Portanto
(4-2) - \left(1-\dfrac{1}{8}\right) = 2 - \left(\dfrac{7}{8}\right) = \dfrac{16}{8}-\dfrac{7}{8} = \dfrac{9}{8}.
Assim a integral (2) vale \dfrac{9}{8}.

Resposta

\dfrac{9}{20}
\dfrac{9}{8}

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