\iint_{R} y+x y^{-2} d A, \quad R=\{(x, y): 0 \leq x \leq 2, 1 \leq y \leq 2\}

Passo 1

Beleza, queremos calcular a integral dupla
\iint_{R}\bigl(y + x\,y^{-2}\bigr)\,dA
onde
R = \{(x,y)\mid 0 \le x \le 2,\;1 \le y \le 2\}.
Pelo Teorema de Fubini, escrevemos como integral iterada
\int_{y=1}^{2}\!\int_{x=0}^{2}\bigl(y + x\,y^{-2}\bigr)\,dx\,dy.

Passo 2

Integramos em x primeiro, tratando y como constante. Temos
\int_{0}^{2}\bigl(y + x\,y^{-2}\bigr)\,dx = \int_{0}^{2}y\,dx \;+\;\int_{0}^{2}x\,y^{-2}\,dx.
Como \displaystyle\int_{0}^{2}y\,dx = y\cdot2 e
\int_{0}^{2}x\,y^{-2}\,dx = y^{-2}\int_{0}^{2}x\,dx = y^{-2}\cdot\frac{2^{2}}{2} =2\,y^{-2},
o resultado da integral interna é
2y + 2y^{-2}.

Passo 3

Agora integramos em y:
\int_{1}^{2}\bigl(2y + 2y^{-2}\bigr)\,dy =2\int_{1}^{2}y\,dy \;+\;2\int_{1}^{2}y^{-2}\,dy.
Usando a regra de potências,
\int y\,dy = \frac{y^{2}}{2}, \quad \int y^{-2}\,dy = -\,y^{-1},
obtém-se
2\Bigl[\tfrac{y^{2}}{2}\Bigr]_{1}^{2} +2\Bigl[-y^{-1}\Bigr]_{1}^{2} =(4-1)+2\bigl(-\tfrac12+1\bigr) =3+1=4.

Resposta

O valor da integral é 4.

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