\int_{0}^{2} \int_{0}^{\pi / 2} r \operatorname{sen}^{2}(\theta) d \theta d r

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{2}\int_{0}^{\pi/2}r\operatorname{sen}^2(\theta)\,d\theta\,dr.
O conteúdo aqui é integral de função separável (produto de função de r por função de \theta). Vamos usar a propriedade
\int_{a}^{b}\int_{c}^{d}f(r)\,g(\theta)\,d\theta\,dr =\Bigl(\int_{a}^{b}f(r)\,dr\Bigr)\,\Bigl(\int_{c}^{d}g(\theta)\,d\theta\Bigr),
e depois calcular cada parte.

Passo 2

Calcular a integral interna em \theta:
\int_{0}^{\pi/2}\operatorname{sen}^2(\theta)\,d\theta.
Usamos a identidade
\operatorname{sen}^2(\theta)=\frac{1-\cos(2\theta)}{2},
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\int_{0}^{\pi/2}\operatorname{sen}^2(\theta)\,d\theta =\int_{0}^{\pi/2}\frac{1-\cos(2\theta)}{2}\,d\theta =\frac{1}{2}\Bigl[\theta-\frac{\sin(2\theta)}{2}\Bigr]_{0}^{\pi/2} =\frac{1}{2}\Bigl(\frac{\pi}{2}-0\Bigr) =\frac{\pi}{4}.

Passo 3

Calcular a integral externa em r:
\int_{0}^{2}r\,dr =\Bigl[\frac{r^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{2} =\frac{2^{2}}{2}-0 =2.

Passo 4

Pelo teorema da separação, o valor da integral original é o produto dos resultados dos passos anteriores:
\frac{\pi}{4}\times 2 =\frac{\pi}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{2}

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