Resolva as EDO’s lineares não-homogêneas de 2^{\mathrm{a}} ordem com coeficientes constantes.
y^{\prime \prime}+y^{\prime}+7 x=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + y' + 7x = 0.
O método geral é encontrar a solução complementar y_c da homogênea associada e depois uma solução particular y_p da não homogênea.

Passo 2

Para a parte homogênea, consideramos
y'' + y' = 0.
A equação característica é
r^2 + r = 0 \quad\Longrightarrow\quad r(r+1)=0,
de onde r_1=0 e r_2=-1. Assim
y_c = C_1 e^{0\cdot x} + C_2 e^{-x} = C_1 + C_2 e^{-x}.

Passo 3

Na parte não homogênea temos termo 7x, polinomial de grau 1. Como r=0 (constante) já aparece em y_c, multiplicamos o palpite polinomial por x. Logo, fazemos
y_p = A x^2 + B x.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_p:
y_p' = 2A x + B, \qquad y_p'' = 2A.
Substituindo em y''+y'+7x=0:
2A + (2A x + B) + 7x = 0 \;\Longrightarrow\; (2A+7)\,x + (2A + B) = 0.
Igualando coeficientes:
2A + 7 = 0 \quad\Longrightarrow\quad A = -\tfrac{7}{2},
2A + B = 0 \quad\Longrightarrow\quad B = -2A = 7.
Logo
y_p = -\tfrac{7}{2}\,x^2 + 7x.

Passo 5

A solução geral é
y(x) = y_c + y_p = C_1 + C_2 e^{-x} - \tfrac{7}{2}x^2 + 7x.

Resposta

y(x) = C_1 + C_2 e^{-x} - \frac{7}{2}\,x^2 + 7x.

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