Resolva as EDO’s lineares não-homogêneas de 2^{\mathrm{a}} ordem com coeficientes constantes.
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=5 x^{2}+4 x+2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo
y'' + 2y' + 5y = 5x^2 + 4x + 2.
O método é: (1) achar a solução complementar y_c pela equação característica; (2) achar uma solução particular y_p por coeficientes indeterminados; (3) somar y_c e y_p.

Passo 2

A equação característica associada à parte homogênea é
r^2 + 2r + 5 = 0.
Resolvendo-a,
r = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4\cdot1\cdot5}}{2} = -1 \pm 2i.
Logo a solução complementar é
y_c = e^{-x}\bigl(A\cos(2x) + B\sin(2x)\bigr),
com A,B constantes arbitrárias.

Passo 3

Para a parte não-homogênea, como o lado direito é um polinômio de grau 2, tentamos
y_p = ax^2 + bx + c.
Calculamos as derivadas:
y_p' = 2ax + b,\qquad y_p'' = 2a.

Passo 4

Substituindo em y'' + 2y' + 5y\): \[y_p'' + 2y_p' + 5y_p = 2a + 2(2ax + b) + 5(ax^2 + bx + c) = 5a\,x^2 + (4a + 5b)\,x + (2a + 2b + 5c).
Igualando ao termo não-homogêneo 5x^2 + 4x + 2 obtemos o sistema
\begin{cases} 5a = 5,\\\\ 4a + 5b = 4,\\\\ 2a + 2b + 5c = 2. \end{cases}
Dessa forma a=1\], \(b=0, c=0, logo
y_p = x^2.

Passo 5

A solução geral é
y = y_c + y_p = e^{-x}\bigl(A\cos(2x) + B\sin(2x)\bigr) + x^2.

Resposta

y(x) = e^{-x}\bigl(A\cos(2x) + B\sin(2x)\bigr) + x^2.

Exercícios relacionados