\int_{0}^{2} \int_{0}^{11} x \operatorname{sen}(y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral duplo da função separável f(x,y)=x\,\operatorname{sen}(y) sobre o retângulo [0,2]\times[0,11], ou seja
\int_{0}^{2}\int_{0}^{11}x\,\operatorname{sen}(y)\,dy\,dx.
Vamos usar o Teorema de Fubini para separar essa integral em duas integrais simples.

Passo 2

Como x depende só de x e \operatorname{sen}(y) depende só de y, o Teorema de Fubini permite escrever
\int_{0}^{2}\int_{0}^{11}x\,\operatorname{sen}(y)\,dy\,dx = \Bigl(\int_{0}^{2}x\,dx\Bigr)\,\Bigl(\int_{0}^{11}\operatorname{sen}(y)\,dy\Bigr).

Passo 3

Calculamos primeiro
\int_{0}^{11}\operatorname{sen}(y)\,dy.
Como
\int\operatorname{sen}(y)\,dy=-\cos(y),
temos
\int_{0}^{11}\operatorname{sen}(y)\,dy = [-\cos(y)]_{0}^{11} = -\cos(11)-\bigl(-\cos(0)\bigr) = 1-\cos(11).

Passo 4

Agora calculamos
\int_{0}^{2}x\,dx.
Usando \int x\,dx = x^{2}/2, vem
\int_{0}^{2}x\,dx = \bigl[x^{2}/2\bigr]_{0}^{2} = 2.

Passo 5

Basta multiplicar os dois resultados:
\int_{0}^{2}\int_{0}^{11}x\,\operatorname{sen}(y)\,dy\,dx = 2\;\bigl(1-\cos(11)\bigr).

Resposta

2\,(1-\cos(11))

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