\int_{0}^{1} \int_{0}^{1}\left(1-\frac{x^{2}+y^{2}}{2}\right) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\left(1-\frac{x^{2}+y^{2}}{2}\right)\,dx\,dy.
Informações dadas:
  • A região de integração é o quadrado unitário com 0\le x\le1 e 0\le y\le1.
  • A função integranda é 1-\dfrac{x^{2}+y^{2}}{2}.
    O objetivo é encontrar o valor numérico dessa integral dupla.

Passo 2

Conceito básico (explicação didática)
  • Uma integral dupla sobre um retângulo (como o quadrado unitário) pode ser calculada como uma integral iterada: primeiro integra-se em relação a uma variável mantendo a outra fixa, e depois integra-se o resultado em relação à segunda variável. Isso é permitido por um teorema chamado de Fubini (não precisa decorar o nome agora, só saber que dá para fazer assim).
  • A integral é linear: a integral da soma é a soma das integrais, e constantes podem ser tiradas para fora da integral. Isso facilita muito quando a integranda é uma soma ou diferença de termos.

Passo 3

Manipulação algébrica da integranda
Escrever a integranda separando os termos:
1-\frac{x^{2}+y^{2}}{2}=1-\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{2}.
Pela linearidade da integral, podemos escrever
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\left(1-\frac{x^{2}+y^{2}}{2}\right)\,dx\,dy = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}1\,dx\,dy - \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{x^{2}}{2}\,dx\,dy - \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{y^{2}}{2}\,dx\,dy.

Passo 4

Explicar separabilidade e calcular a primeira integral
  • Como a região é um produto de intervalos e o integrando 1 é constante, podemos calcular diretamente:
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}1\,dx\,dy = \left(\int_{0}^{1}1\,dx\right)\left(\int_{0}^{1}1\,dy\right).
  • Cada integral unidimensional de 1 no intervalo [0,1] vale 1, pois a primitiva de 1 é x e x\big|_{0}^{1}=1. Logo
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}1\,dx\,dy = 1\cdot 1 = 1.

Passo 5

Calcular a integral do termo que depende de x
  • Note que \dfrac{x^{2}}{2} depende só de x; portanto a dupla integral separa assim:
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{x^{2}}{2}\,dx\,dy = \left(\int_{0}^{1}\frac{x^{2}}{2}\,dx\right)\left(\int_{0}^{1}1\,dy\right).
  • Calcular a primitiva de x^{2}: uma primitiva é \dfrac{x^{3}}{3}. Então
\int_{0}^{1}\frac{x^{2}}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}x^{2}\,dx = \frac{1}{2}\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3} = \frac{1}{6}.
  • E \int_{0}^{1}1\,dy=1. Portanto
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{x^{2}}{2}\,dx\,dy = \frac{1}{6}\cdot 1 = \frac{1}{6}.

Passo 6

Calcular a integral do termo que depende de y
  • Pelo mesmo raciocínio (simetria entre x e y),
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{y^{2}}{2}\,dx\,dy = \left(\int_{0}^{1}1\,dx\right)\left(\int_{0}^{1}\frac{y^{2}}{2}\,dy\right) =1\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{6}.
  • Observação didática: dá para ver também por simetria que as duas integrais valem o mesmo porque trocar x por y não muda a região nem a forma do termo.

Passo 7

Juntar os resultados e fazer a conta final
  • Substituindo os valores obtidos em Passo 3:
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\left(1-\frac{x^{2}+y^{2}}{2}\right)\,dx\,dy = 1 - \frac{1}{6} - \frac{1}{6}.
  • Somar as frações:
\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3},
então
1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.

Resposta

\dfrac{2}{3}

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