Use a transformada de Laplace para resolver os problemas de valor inicial abaixo.
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=4 e^{-t} \\\ y(0)=2, y^{\prime}(0)=-1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y'' + 2y' + y = 4e^{-t}, \quad y(0)=2,\;y'(0)=-1.
Vamos usar a transformada de Laplace para passar essa EDO a uma equação algébrica em Y(s)=\mathcal L\{y(t)\}.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace termo a termo e usando
\mathcal L\{y''\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
\mathcal L\{y'\}=sY(s)-y(0)
e
\mathcal L\{e^{-t}\}=1/(s+1),
obtemos
\bigl(s^2Y(s)-2s+1\bigr)+2\bigl(sY(s)-2\bigr)+Y(s) =\frac{4}{s+1}.

Passo 3

Agrupando os termos em Y(s),
(s^2+2s+1)\,Y(s)-2s-3=\frac{4}{s+1},
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Y(s) =\frac{\displaystyle \frac{4}{s+1}+2s+3}{(s+1)^2} =\frac{2s^2+5s+7}{(s+1)^3}.

Passo 4

Fazendo frações parciais na forma
\tfrac{A}{s+1}+\tfrac{B}{(s+1)^2}+\tfrac{C}{(s+1)^3},
igualamos
2s^2+5s+7 = A(s+1)^2 + B(s+1) + C
e achamos A=2, B=1, C=4. Assim,
Y(s)=\frac{2}{s+1} + \frac{1}{(s+1)^2} + \frac{4}{(s+1)^3}.

Passo 5

Aplicando a transformada inversa e usando
\mathcal L^{-1}\{1/(s+1)\}=e^{-t},
\mathcal L^{-1}\{1/(s+1)^2\}=t\,e^{-t},
\mathcal L^{-1}\{1/(s+1)^3\}= \tfrac{t^2}{2}\,e^{-t},
temos
y(t) =2e^{-t} + t\,e^{-t} + 4\cdot\frac{t^2}{2}\,e^{-t} =e^{-t}\bigl(2 + t + 2t^2\bigr).

Resposta

y(t)=e^{-t}\bigl(2 + t + 2t^2\bigr).

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