Em uma ilha, certo tipo de vegetação é abundante em certas épocas do ano e escasso em outras. A área S, em quilômetros quadrados, ocupada por esta vegetação na ilha, ao longo do ano, pode ser expressa por meio da função S(t)=100+50 cdot sen(pi t6) em que t=1, t=2, t=3, ldots t=12, representam o final dos meses de Janeiro, Fevereiro, março, …, dezembro, respectivamente.
Em que mês essa maior ocupação acontece?

Passo 1

O enunciado dá a função
S(t)=100+50cdot sen!l(pi t6r),
onde t=1,2,dots,12 indica o final de cada mês. Queremos saber para qual t de 1 a 12 a área S(t) é máxima. O conteúdo envolve propriedades de funções senoidais, em especial o fato de que sen(x) atinge valor máximo 1.

Passo 2

Como 100 é constante e 50>0, maximizar S(t) equivale a maximizar
sen!l(pi t6r)
O valor máximo de sen(x) é 1, atingido quando
pi t6 = pi2 + 2pi k, kinZ
Dividindo ambos os lados por pi e multiplicando por 6, vem
t = 3 + 12k

Passo 3

Precisamos de t inteiro entre 1 e 12. Para k=0 obtemos t=3. Para kneq0 ou t<1 ou t>12. Logo o único t viável é
t=3

Resposta

A maior ocupação ocorre no mês de março.

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