O volume de uma esfera de raio r é \frac{4 \pi r^{3}}{3} e a sua superfície é 4 \pi r^{2}. Mostre que a taxa de variação do volume em relação ao raio é igual ao da área da superficie.

Passo 1

O enunciado dá as fórmulas do volume e da área da superfície de uma esfera em função do raio r e pede para mostrar que a taxa de variação do volume em relação ao raio é igual à área da superfície. Informações fornecidas:
  • Volume: V(r)=\frac{4\pi r^{3}}{3}.
  • Área da superfície: A(r)=4\pi r^{2}.
O que se pede: provar que a derivada de V em relação a r, isto é \dfrac{dV}{dr}, é igual a A(r).

Passo 2

Lembrete rápido sobre derivadas que vamos usar (explicado passo a passo):
  • A derivada representa a taxa de variação instantânea. Para uma função f(r), a derivada f'(r)=\dfrac{df}{dr} é o limite \displaystyle \lim_{\Delta r\to 0}\dfrac{f(r+\Delta r)-f(r)}{\Delta r}.
  • Regras que aplicaremos:
    • Regra do fator constante: se c é constante, \dfrac{d}{dr}\big(c\cdot g(r)\big)=c\cdot \dfrac{d}{dr}g(r).
    • Regra do poder (power rule): para g(r)=r^{n} com n real, \dfrac{d}{dr}r^{n}=n r^{n-1}.
      Explicando de modo bem direto: multiplicar por uma constante sai da derivada; derivar r^{3} 3r^{2}.

Passo 3

Aplicando as regras ao volume \displaystyle V(r)=\frac{4\pi}{3}r^{3}:
  • Primeiro, trate \displaystyle \frac{4\pi}{3} como constante e use a regra do fator constante.
  • Depois, aplique a regra do poder à função r^{3}.
Assim,
\frac{dV}{dr} = \frac{4\pi}{3}\cdot \frac{d}{dr}\big(r^{3}\big) = \frac{4\pi}{3}\cdot 3r^{2}.
Agora cancele o 3:
\frac{dV}{dr}=4\pi r^{2}.

Passo 4

Compare o resultado com a fórmula da área dada:
A(r)=4\pi r^{2}.
Portanto, a derivada que calculamos coincide com a área:
\frac{dV}{dr}=A(r).

Passo 5

Interpretação geométrica (intuição que costuma cair na prova): se o raio aumenta de uma pequena quantidade \Delta r, o volume extra que aparece é aproximadamente o volume de uma casca esférica fina de espessura \Delta r. Essa casca tem volume aproximado igual à área da superfície multiplicada pela espessura:
\Delta V \approx A(r)\,\Delta r.
Dividindo por \Delta r e fazendo \Delta r\to 0 (definição de derivada) obtemos \dfrac{dV}{dr}=A(r). Para ver isso com contas exatas, expandir
V(r+\Delta r)-V(r)=\frac{4\pi}{3}\big((r+\Delta r)^{3}-r^{3}\big) =\frac{4\pi}{3}\big(3r^{2}\Delta r+3r(\Delta r)^{2}+(\Delta r)^{3}\big),
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\frac{V(r+\Delta r)-V(r)}{\Delta r}=4\pi r^{2}+4\pi r\,\Delta r+\frac{4\pi}{3}(\Delta r)^{2}.
Fazendo \Delta r\to 0 sobrará 4\pi r^{2}, que é exatamente a área.

Passo 6

Exemplo numérico rápido para ganhar confiança: para r=2,
V(2)=\frac{4\pi}{3}\cdot 2^{3}=\frac{32\pi}{3}, \qquad A(2)=4\pi\cdot 2^{2}=16\pi.
A derivada que encontramos em r=2 é \dfrac{dV}{dr}\big|_{r=2}=4\pi\cdot 2^{2}=16\pi, igual à área A(2). Ou seja, a taxa de crescimento do volume quando o raio aumenta é numérica e geometricamente igual à área da superfície naquele raio.

Passo 7

Resumo em palavras: a igualdade vem da aplicação direta das regras básicas de derivação à fórmula do volume, e isso tem uma interpretação geométrica simples pela casquinha esférica. Respira fundo: é uma conta curta e a intuição ajuda bastante.

Resposta

\dfrac{dV}{dr}=4\pi r^{2}

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