O volume de uma esfera de raio r é \frac{4 \pi r^{3}}{3} e a sua superfície é 4 \pi r^{2}. Mostre que a taxa de variação do volume em relação ao raio é igual ao da área da superficie.
Passo 1
O enunciado dá as fórmulas do volume e da área da superfície de uma esfera em função do raio r e pede para mostrar que a taxa de variação do volume em relação ao raio é igual à área da superfície. Informações fornecidas:
Volume: V(r)=\frac{4\pi r^{3}}{3}.
Área da superfície: A(r)=4\pi r^{2}.
O que se pede: provar que a derivada de V em relação a r, isto é \dfrac{dV}{dr}, é igual a A(r).
Passo 2
Lembrete rápido sobre derivadas que vamos usar (explicado passo a passo):
A derivada representa a taxa de variação instantânea. Para uma função f(r), a derivada f'(r)=\dfrac{df}{dr} é o limite \displaystyle \lim_{\Delta r\to 0}\dfrac{f(r+\Delta r)-f(r)}{\Delta r}.
Regras que aplicaremos:
Regra do fator constante: se c é constante, \dfrac{d}{dr}\big(c\cdot g(r)\big)=c\cdot \dfrac{d}{dr}g(r).
Regra do poder (power rule): para g(r)=r^{n} com n real, \dfrac{d}{dr}r^{n}=n r^{n-1}.
Explicando de modo bem direto: multiplicar por uma constante sai da derivada; derivar r^{3} dá 3r^{2}.
Passo 3
Aplicando as regras ao volume \displaystyle V(r)=\frac{4\pi}{3}r^{3}:
Primeiro, trate \displaystyle \frac{4\pi}{3} como constante e use a regra do fator constante.
Portanto, a derivada que calculamos coincide com a área:
\frac{dV}{dr}=A(r).
Passo 5
Interpretação geométrica (intuição que costuma cair na prova): se o raio aumenta de uma pequena quantidade \Delta r, o volume extra que aparece é aproximadamente o volume de uma casca esférica fina de espessura \Delta r. Essa casca tem volume aproximado igual à área da superfície multiplicada pela espessura:
\Delta V \approx A(r)\,\Delta r.
Dividindo por \Delta r e fazendo \Delta r\to 0 (definição de derivada) obtemos \dfrac{dV}{dr}=A(r). Para ver isso com contas exatas, expandir
A derivada que encontramos em r=2 é \dfrac{dV}{dr}\big|_{r=2}=4\pi\cdot 2^{2}=16\pi, igual à área A(2). Ou seja, a taxa de crescimento do volume quando o raio aumenta é numérica e geometricamente igual à área da superfície naquele raio.
Passo 7
Resumo em palavras: a igualdade vem da aplicação direta das regras básicas de derivação à fórmula do volume, e isso tem uma interpretação geométrica simples pela casquinha esférica. Respira fundo: é uma conta curta e a intuição ajuda bastante.