Imagine um gás perfeito encerrado em um cilindro provido de um pistão. Sejam T e V_{i} o estado inicial e Te V_{f} o estado final. Esta modificação do estado pode ser provocada de muitas maneiras, das quais as duas mais simples são: Processo 1, expansão livre contra uma pressão externa nula; Processo 2, expansão isotérmica reversível. Calcule w, q e \Delta U em cada processo.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei todas as informações do enunciado):
  • Há um gás perfeito (gás ideal) confinado num cilindro com pistão.
  • O estado inicial tem temperatura \,T, e volume \,V_i.
  • O estado final tem a mesma temperatura \,T, e volume \,V_f. Ou seja, o processo final é tal que a temperatura permanece igual ( \,T constante entre início e fim).
  • São considerados dois modos de realizar a expansão:
    • Processo 1: expansão livre contra pressão externa nula (expansão em vácuo).
    • Processo 2: expansão isotérmica reversível.
  • Para cada processo o enunciado pede: calcular w, q e \Delta U.

Passo 2

Conceitos e fórmulas fundamentais que vamos usar (aula rápida, passo a passo, sem pular etapas):
  • Primeira Lei da Termodinâmica: \displaystyle \Delta U = q + w.
    • Aqui estou usando a convenção química/físico-engenharia usual: \,q é o calor trocado com o sistema (positivo se calor entra no sistema) e \,w é o trabalho realizado sobre o sistema (positivo se trabalho é feito sobre o sistema). Com essa convenção, quando o gás se expande fazendo trabalho sobre o ambiente, \,w fica negativo.
  • Trabalho de expansão contra uma pressão externa: \displaystyle w = -\int_{V_i}^{V_f} P_{\text{ext}}\,dV.
    • Explicação dessa fórmula: P_{\text{ext}}\,dV é a pequena energia de trabalho feita pelo sistema ao aumentar seu volume num passo infinitesimal; o sinal negativo vem do fato de que trabalho feito pelo sistema reduz a energia interna (pela convenção adotada, trabalho sobre o sistema é positivo).
  • Gás ideal (perfeito): a energia interna de um gás ideal depende somente da temperatura. Para n mols, \Delta U = n C_V \Delta T,onde \,C_V é a capacidade calorífica molar a volume constante. Portanto, se a temperatura não muda ( \Delta T=0), temos \Delta U=0.
  • Observação importante sobre processos irreversíveis e reversíveis:
    • Se o processo não for quasistático (por exemplo, expansão livre), não se pode calcular w usando a pressão do gás interno variável — usa-se a pressão externa constante (a fórmula acima). Para um processo reversível e isotérmico, a pressão externa se iguala à pressão do gás ao longo do processo e podemos escrever P_{\text{ext}}=P_{\text{gas}}=nRT/V.

Passo 3

Processo 1 — expansão livre contra P_{\text{ext}}=0.
  • Natureza física do processo: expansão em vácuo (o pistão se desloca porque o gás ocupa um novo compartimento vazio). Esse processo é tipicamente realizado isoladamente (sem troca de calor) — quando se fala em “expansão livre” a usual interpretação é que não há troca de calor com o ambiente e a pressão externa é zero.
  • Cálculo do trabalho \,w: w = -\int_{V_i}^{V_f} P_{\text{ext}}\,dV = -\int_{V_i}^{V_f} 0\;dV = 0.Logo \,w=0.
  • Calor trocado \,q: para a expansão livre padrão o sistema é isolado (não há troca de calor), então \,q=0.
    • Se o problema explicitamente dissesse que há troca de calor com a vizinhança, então \,q poderia não ser zero; mas a expressão “expansão livre” costuma implicar isolamento térmico. Estou seguindo essa interpretação padrão.
  • Variação de energia interna \Delta U: pela primeira lei, \Delta U = q + w = 0 + 0 = 0.Alternativamente, como é um gás ideal e a temperatura inicial e final são iguais ( \Delta T=0), temos \Delta U = n C_V \Delta T = 0. Ambas as razões coincidem.
  • Consequência física: a temperatura do gás ideal permanece T; a expansão livre não faz o gás trocar calor nem realizar trabalho sobre o ambiente, então a energia interna não muda.

Passo 4

Processo 2 — expansão isotérmica reversível ( T constante, processo quasistático).
  • Para um processo reversível isotérmico, a pressão externa durante a expansão é sempre igual à pressão do gás: \displaystyle P_{\text{ext}}=P_{\text{gas}}=\frac{nRT}{V}.
  • Cálculo do trabalho \,w usando a fórmula do trabalho: w = -\int_{V_i}^{V_f} P_{\text{ext}}\,dV = -\int_{V_i}^{V_f} \frac{nRT}{V}\,dV.Como \,n, \,R e \,T são constantes durante a transformação isotérmica, saem da integral: w = -nRT\int_{V_i}^{V_f} \frac{1}{V}\,dV = -nRT\,[\ln V]_{V_i}^{V_f} = -nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).Assim, \boxed{\,w = -nRT\ln\!\left(\dfrac{V_f}{V_i}\right)\,.}
    • Interpretação de sinais: se V_f>V_i (expansão), \ln(V_f/V_i)>0 então w<0 — trabalho realizado pelo sistema sobre o ambiente (o que era esperado).
  • Variação da energia interna \Delta U: para gás ideal e processo isotérmico, \Delta T=0 então \Delta U = 0.
  • Calor trocado \,q: pela primeira lei, q = \Delta U - w = 0 - w = -w = nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).Logo \boxed{\,q = nRT\ln\!\left(\dfrac{V_f}{V_i}\right)\, .}
    • Interpretação: se o gás se expande isotermicamente e reversivelmente, ele realiza trabalho sobre o ambiente; para manter a temperatura constante, deve receber calor da vizinhança igual ao trabalho realizado (calor entra no sistema, q>0 quando V_f>V_i).

Passo 5

Resumo didático rápido (como lembrar na prova):
  • Use sempre \displaystyle w = -\int_{V_i}^{V_f} P_{\text{ext}}\,dV. Se o processo for reversível isotérmico, substitua P_{\text{ext}} = nRT/V e integre. Se o processo é irreversível com P_{\text{ext}}=0 (expansão livre), então w=0.
  • Para gás ideal, use \Delta U = nC_V\Delta T. Se \Delta T=0 (isotérmico), então \Delta U=0 e q=-w.

Resposta

Processo 1 (expansão livre, P_{\text{ext}}=0): \;w=0,\;q=0,\;\Delta U=0.
Processo 2 (expansão isotérmica reversível): \;w=-nRT\ln\!\left(\dfrac{V_f}{V_i}\right),\;q=nRT\ln\!\left(\dfrac{V_f}{V_i}\right),\;\Delta U=0.

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