Imagine um gás perfeito encerrado em um cilindro provido de um pistão. Sejam
e
estado inicial e Te
estado final. Esta modificação do estado pode ser provocada de muitas maneiras, das quais as duas mais simples são: Processo 1, expansão livre contra uma pressão externa nula; Processo 2, expansão isotérmica reversível. Calcule w, q e
U em cada processo.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (peguei todas as informações do enunciado):
- Há um gás perfeito (gás ideal) confinado num cilindro com pistão.
- O estado inicial tem temperatura
, e volume . - O estado final tem a mesma temperatura
, e volume . Ou seja, o processo final é tal que a temperatura permanece igual ( constante entre início e fim). - São considerados dois modos de realizar a expansão:
- Processo 1: expansão livre contra pressão externa nula (expansão em vácuo).
- Processo 2: expansão isotérmica reversível.
- Para cada processo o enunciado pede: calcular
, e .
Passo 2
Conceitos e fórmulas fundamentais que vamos usar (aula rápida, passo a passo, sem pular etapas):
- Primeira Lei da Termodinâmica:
. - Aqui estou usando a convenção química/físico-engenharia usual:
é o calor trocado com o sistema (positivo se calor entra no sistema) e é o trabalho realizado sobre o sistema (positivo se trabalho é feito sobre o sistema). Com essa convenção, quando o gás se expande fazendo trabalho sobre o ambiente, fica negativo.
- Aqui estou usando a convenção química/físico-engenharia usual:
- Trabalho de expansão contra uma pressão externa:
- Explicação dessa fórmula:
é a pequena energia de trabalho feita pelo sistema ao aumentar seu volume num passo infinitesimal; o sinal negativo vem do fato de que trabalho feito pelo sistema reduz a energia interna (pela convenção adotada, trabalho sobre o sistema é positivo).
- Explicação dessa fórmula:
- Gás ideal (perfeito): a energia interna de um gás ideal depende somente da temperatura. Para
mols, onde é a capacidade calorífica molar a volume constante. Portanto, se a temperatura não muda ( ), temos . - Observação importante sobre processos irreversíveis e reversíveis:
- Se o processo não for quasistático (por exemplo, expansão livre), não se pode calcular
usando a pressão do gás interno variável — usa-se a pressão externa constante (a fórmula acima). Para um processo reversível e isotérmico, a pressão externa se iguala à pressão do gás ao longo do processo e podemos escrever .
- Se o processo não for quasistático (por exemplo, expansão livre), não se pode calcular
Passo 3
Processo 1 — expansão livre contra
.
- Natureza física do processo: expansão em vácuo (o pistão se desloca porque o gás ocupa um novo compartimento vazio). Esse processo é tipicamente realizado isoladamente (sem troca de calor) — quando se fala em “expansão livre” a usual interpretação é que não há troca de calor com o ambiente e a pressão externa é zero.
- Cálculo do trabalho
: Logo . - Calor trocado
: para a expansão livre padrão o sistema é isolado (não há troca de calor), então . - Se o problema explicitamente dissesse que há troca de calor com a vizinhança, então
poderia não ser zero; mas a expressão “expansão livre” costuma implicar isolamento térmico. Estou seguindo essa interpretação padrão.
- Se o problema explicitamente dissesse que há troca de calor com a vizinhança, então
- Variação de energia interna
: pela primeira lei, Alternativamente, como é um gás ideal e a temperatura inicial e final são iguais ( ), temos . Ambas as razões coincidem. - Consequência física: a temperatura do gás ideal permanece
; a expansão livre não faz o gás trocar calor nem realizar trabalho sobre o ambiente, então a energia interna não muda.
Passo 4
Processo 2 — expansão isotérmica reversível (
constante, processo quasistático).
- Para um processo reversível isotérmico, a pressão externa durante a expansão é sempre igual à pressão do gás:
- Cálculo do trabalho
usando a fórmula do trabalho: Como , e são constantes durante a transformação isotérmica, saem da integral: Assim, - Interpretação de sinais: se
(expansão), então — trabalho realizado pelo sistema sobre o ambiente (o que era esperado).
- Interpretação de sinais: se
- Variação da energia interna
: para gás ideal e processo isotérmico, então - Calor trocado
: pela primeira lei, Logo - Interpretação: se o gás se expande isotermicamente e reversivelmente, ele realiza trabalho sobre o ambiente; para manter a temperatura constante, deve receber calor da vizinhança igual ao trabalho realizado (calor entra no sistema,
quando ).
- Interpretação: se o gás se expande isotermicamente e reversivelmente, ele realiza trabalho sobre o ambiente; para manter a temperatura constante, deve receber calor da vizinhança igual ao trabalho realizado (calor entra no sistema,
Passo 5
Resumo didático rápido (como lembrar na prova):
- Use sempre
. Se o processo for reversível isotérmico, substitua e integre. Se o processo é irreversível com (expansão livre), então . - Para gás ideal, use
. Se (isotérmico), então e .
Resposta
Processo 1 (expansão livre,
):
Processo 2 (expansão isotérmica reversível):
Processo 2 (expansão isotérmica reversível):