- Imagine um sistema termicamente isolado, composto por cilindros conectados por uma válvula, inicialmente fechada. Um dos cilindros contêm um gás perfeito, mantido à pressão de 1 atm , e no outro, tem-se vácuo. Abrindo-se a válvula
a)o gás se expande e, assim, sua temperatura diminui. b)a entropia do sistema se mantém constante, pois não há troca de calor.
c)a entropia do sistema aumenta, porque o processo é irreversível.
a)o gás se expande e, assim, sua temperatura diminui. b)a entropia do sistema se mantém constante, pois não há troca de calor.
c)a entropia do sistema aumenta, porque o processo é irreversível.
Passo 1
O enunciado dá o seguinte cenário e pede que avaliemos três afirmações:
-
Cenário dado:
- Um sistema termicamente isolado (ou seja, sem troca de calor com o exterior).
- Dois cilindros conectados por uma válvula; inicialmente a válvula está fechada.
- Um dos cilindros contém um gás perfeito, à pressão de
. - O outro cilindro está em vácuo.
- A válvula é aberta e o gás passa a ocupar o espaço do outro cilindro.
-
Perguntas (as três afirmações a serem julgadas):
a) O gás se expande e, assim, sua temperatura diminui.
b) A entropia do sistema se mantém constante, pois não há troca de calor.
c) A entropia do sistema aumenta, porque o processo é irreversível.
Passo 2
Entendimento físico básico do processo (sem resolver ainda): quando a válvula é aberta o gás faz uma expansão livre (também chamada de expansão para vácuo). É útil lembrar duas leis/fatos que vamos aplicar: a Primeira Lei da Termodinâmica e a propriedade do gás perfeito de que sua energia interna depende apenas da temperatura.
Vou primeiro explicar essas ferramentas de forma bem didática.
- Primeira Lei da Termodinâmica: para um sistema fechado,
onde
é a variação da energia interna,
é o calor recebido pelo sistema e
é o trabalho realizado pelo sistema sobre o exterior. Explicando as letras:
(energia interna final menos inicial),
(calor entrando) e
(trabalho feito pelo gás).
- Trabalho em processos mecânicos quasistáticos: se uma pressão externa
atua e o volume varia, o trabalho realizado pelo gás é
Importante: em expansão para o vácuo, a pressão externa efetiva é
, então esse integral é nulo.
- Energia interna do gás perfeito: para um gás ideal monoatômico ou poliatômico (em geral), a energia interna depende apenas da temperatura. Em termos simples,
onde
é quantidade de mols,
é capacidade calorífica molar a volume constante e
é a variação de temperatura. O ponto crucial: se
, então
para gás ideal.
Passo 3
Aplicando essas ideias ao nosso processo: o sistema é termicamente isolado, então
. Além disso, como o gás expande para o vácuo, a pressão externa é nula durante a expansão, logo o trabalho realizado pelo gás sobre o ambiente é
Substituindo em
obtemos
Passo 4
Consequência para a temperatura do gás: como para gás perfeito
, de
segue que
Ou seja, a temperatura do gás não muda. Conclusão direta sobre a afirmação (a): o raciocínio “gás se expande e, assim, sua temperatura diminui” está incorreto para um gás perfeito neste processo — a temperatura permanece a mesma.
Comentário intuitivo: a expansão não realiza trabalho (pois não empurra um ambiente contra pressão), e não há calor trocado, então a energia interna não muda; para gás ideal isso significa temperatura constante.
Passo 5
Agora sobre entropia. Duas ideias importantes:
- Entropia
é uma função de estado: a variação de entropia entre dois estados depende apenas dos estados inicial e final — e não do caminho real seguido. Portanto podemos calcular integrando ao longo de qualquer processo reversível que leve dos mesmos estados inicial e final:
- Clausius e irreversibilidade: para um processo qualquer,
sendo a igualdade apenas para processos reversíveis. Isso implica que um processo adiabático irreversível (onde
) pode ter
.
Passo 6
Aplicando ao nosso caso: o processo real é uma expansão livre — é manifesto que é irreversível (existem descontinuidade e dissipação; não há caminho quasistático reversível que reproduza a mesma dinâmica). O sistema é adiabático, então durante o processo real temos
. Pela desigualdade de Clausius para processos irreversíveis, obtemos
Portanto a entropia do sistema aumenta. Isso responde qualitativamente a (b) e (c): a afirmação (b) “a entropia se mantém constante, pois não há troca de calor” é enganadora/errada, porque ausência de calor trocado não implica variação nula de entropia quando o processo é irreversível; a afirmação (c) está correta: entropia aumenta por irreversibilidade.
Passo 7
Cálculo explícito da variação de entropia usando um caminho reversível equivalente (útil para exercícios e prova): como
é função de estado, podemos imaginar uma expansão reversível isotérmica (já que a temperatura não muda) do mesmo volume inicial
para o volume final
. Para um gás ideal durante expansão isotérmica reversível,
Usando a equação de estado do gás ideal
, obtemos
Esse resultado é positivo se
, como é o caso quando o gás expande para ocupar também o cilindro do vácuo. Exemplo numérico: se o volume dobra (
), então
.
Passo 8
Resumo das conclusões ligadas às alternativas:
- (a) Falsa: a temperatura do gás não diminui; para gás perfeito na expansão livre a temperatura permanece constante (
). - (b) Falsa: embora não haja troca de calor global (
), a entropia do sistema não permanece necessariamente constante quando o processo é irreversível; aqui . - (c) Verdadeira: a entropia do sistema aumenta porque o processo é irreversível (expansão livre para vácuo), e pode ser quantificada por
.
Resposta
a) Falsa
b) Falsa
c) Verdadeira
b) Falsa
c) Verdadeira