1. Imagine um sistema termicamente isolado, composto por cilindros conectados por uma válvula, inicialmente fechada. Um dos cilindros contêm um gás perfeito, mantido à pressão de 1 atm , e no outro, tem-se vácuo. Abrindo-se a válvula
    a)o gás se expande e, assim, sua temperatura diminui. b)a entropia do sistema se mantém constante, pois não há troca de calor.
    c)a entropia do sistema aumenta, porque o processo é irreversível.

Passo 1

O enunciado dá o seguinte cenário e pede que avaliemos três afirmações:
  • Cenário dado:
    • Um sistema termicamente isolado (ou seja, sem troca de calor com o exterior).
    • Dois cilindros conectados por uma válvula; inicialmente a válvula está fechada.
    • Um dos cilindros contém um gás perfeito, à pressão de 1\\ \text{atm}.
    • O outro cilindro está em vácuo.
    • A válvula é aberta e o gás passa a ocupar o espaço do outro cilindro.
  • Perguntas (as três afirmações a serem julgadas):
    a) O gás se expande e, assim, sua temperatura diminui.
    b) A entropia do sistema se mantém constante, pois não há troca de calor.
    c) A entropia do sistema aumenta, porque o processo é irreversível.

Passo 2

Entendimento físico básico do processo (sem resolver ainda): quando a válvula é aberta o gás faz uma expansão livre (também chamada de expansão para vácuo). É útil lembrar duas leis/fatos que vamos aplicar: a Primeira Lei da Termodinâmica e a propriedade do gás perfeito de que sua energia interna depende apenas da temperatura.
Vou primeiro explicar essas ferramentas de forma bem didática.
  • Primeira Lei da Termodinâmica: para um sistema fechado,
\Delta U = Q - W,
onde \Delta U é a variação da energia interna, Q é o calor recebido pelo sistema e W é o trabalho realizado pelo sistema sobre o exterior. Explicando as letras: \Delta U (energia interna final menos inicial), Q (calor entrando) e W (trabalho feito pelo gás).
  • Trabalho em processos mecânicos quasistáticos: se uma pressão externa P_{\text{ext}} atua e o volume varia, o trabalho realizado pelo gás é
W = \int P_{\text{ext}}\, dV.
Importante: em expansão para o vácuo, a pressão externa efetiva é 0, então esse integral é nulo.
  • Energia interna do gás perfeito: para um gás ideal monoatômico ou poliatômico (em geral), a energia interna depende apenas da temperatura. Em termos simples,
\Delta U = n C_V \Delta T,
onde n é quantidade de mols, C_V é capacidade calorífica molar a volume constante e \Delta T é a variação de temperatura. O ponto crucial: se \Delta U=0, então \Delta T=0 para gás ideal.

Passo 3

Aplicando essas ideias ao nosso processo: o sistema é termicamente isolado, então Q=0. Além disso, como o gás expande para o vácuo, a pressão externa é nula durante a expansão, logo o trabalho realizado pelo gás sobre o ambiente é
W=\int P_{\text{ext}}\,dV = 0.
Substituindo em \Delta U = Q - W obtemos
\Delta U = 0 - 0 = 0.

Passo 4

Consequência para a temperatura do gás: como para gás perfeito \Delta U = n C_V \Delta T, de \Delta U=0 segue que
n C_V \Delta T = 0 \quad\Rightarrow\quad \Delta T = 0.
Ou seja, a temperatura do gás não muda. Conclusão direta sobre a afirmação (a): o raciocínio “gás se expande e, assim, sua temperatura diminui” está incorreto para um gás perfeito neste processo — a temperatura permanece a mesma.
Comentário intuitivo: a expansão não realiza trabalho (pois não empurra um ambiente contra pressão), e não há calor trocado, então a energia interna não muda; para gás ideal isso significa temperatura constante.

Passo 5

Agora sobre entropia. Duas ideias importantes:
  1. Entropia S é uma função de estado: a variação de entropia entre dois estados depende apenas dos estados inicial e final — e não do caminho real seguido. Portanto podemos calcular \Delta S integrando dQ_{\text{rev}}/T ao longo de qualquer processo reversível que leve dos mesmos estados inicial e final:
\Delta S = \int_{\text{rev}} \frac{dQ}{T}.
  1. Clausius e irreversibilidade: para um processo qualquer,
\Delta S \ge \int \frac{dQ}{T},
sendo a igualdade apenas para processos reversíveis. Isso implica que um processo adiabático irreversível (onde Q=0) pode ter \Delta S>0.

Passo 6

Aplicando ao nosso caso: o processo real é uma expansão livre — é manifesto que é irreversível (existem descontinuidade e dissipação; não há caminho quasistático reversível que reproduza a mesma dinâmica). O sistema é adiabático, então durante o processo real temos \int dQ/T = 0. Pela desigualdade de Clausius para processos irreversíveis, obtemos
\Delta S > 0.
Portanto a entropia do sistema aumenta. Isso responde qualitativamente a (b) e (c): a afirmação (b) “a entropia se mantém constante, pois não há troca de calor” é enganadora/errada, porque ausência de calor trocado não implica variação nula de entropia quando o processo é irreversível; a afirmação (c) está correta: entropia aumenta por irreversibilidade.

Passo 7

Cálculo explícito da variação de entropia usando um caminho reversível equivalente (útil para exercícios e prova): como S é função de estado, podemos imaginar uma expansão reversível isotérmica (já que a temperatura não muda) do mesmo volume inicial V_i para o volume final V_f. Para um gás ideal durante expansão isotérmica reversível,
\Delta S = \int_{V_i}^{V_f} \frac{dQ_{\text{rev}}}{T} = \int_{V_i}^{V_f} \frac{P\,dV}{T}.
Usando a equação de estado do gás ideal P=\dfrac{nRT}{V}, obtemos
\Delta S = \int_{V_i}^{V_f} \frac{nR}{V}\,dV = nR\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
Esse resultado é positivo se V_f>V_i, como é o caso quando o gás expande para ocupar também o cilindro do vácuo. Exemplo numérico: se o volume dobra ( V_f=2V_i), então \Delta S = nR\ln 2 > 0.

Passo 8

Resumo das conclusões ligadas às alternativas:
  • (a) Falsa: a temperatura do gás não diminui; para gás perfeito na expansão livre a temperatura permanece constante ( \Delta T=0).
  • (b) Falsa: embora não haja troca de calor global ( Q=0), a entropia do sistema não permanece necessariamente constante quando o processo é irreversível; aqui \Delta S>0.
  • (c) Verdadeira: a entropia do sistema aumenta porque o processo é irreversível (expansão livre para vácuo), e pode ser quantificada por \Delta S = nR\ln(V_f/V_i)>0.

Resposta

a) Falsa
b) Falsa
c) Verdadeira

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