Imagine que uma solução com densidade igual a 1100 kg / m^3 entre num tanque de agitação com volume de 100 m^3 operando com 80 % de sua capacidade, cujo conteúdo esteja a uma densidade inicial de 1000 kg / m^3. Sabendo que Q entrada =Q saída =1 m^3 / miní, e que A1 =A2=1 m^2, diga em quanto tempo a densidade do tanque será igual a 1050 kg / m^3. Suponha agora que Q entrada =2 m^2 / min e Q saída =1 m^3 / miní. Qual será a densidade do conteúdo quando o tanque estiver com 95 % de sua capacidade de volume?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos um tanque de agitação de 100 m³, mas ele está operando com 80 % dessa capacidade, então tem 80 m³ de líquido dentro com densidade inicial de 1000 kg/m³. Entra solução a 1100 kg/m³ e sai mistura no mesmo fluxo. Depois a gente muda o fluxo de entrada e saída e pergunta a densidade quando o volume chegar a 95 % da capacidade.
Conteúdo: problemas de mistura (mass balance) usando EDO (equações diferenciais) para massa e volume. Vamos precisar montar duas EDOs: uma com volume constante (Qin=Qout) e outra com volume variável (Qin≠Qout).

Passo 2

Primeira parte – volume constante (80 m³) porque dmdt=Qrm in,rhorm in-Qrm out,rho(t), .
Teoria: para mistura perfeita, escrevemos balanço de massa:
drhodt=QVl(rhorm in-rhor) =180(1100-rho)
onde . Como é constante, . Aqui , , , e . Então
Isso é uma EDO linear simples do tipo , com .

Passo 3

Resolvendo a EDO:
rho(t)=rhorm in-l(rhorm in-rho(0)r)e^-,QVt =1100-(1100-1000)e^-,180t =1100-100,e^-t/80
Queremos 1050=1100-100,e^-t/80 ;;Longrightarrow;; 100,e^-t/80=50 ;;Longrightarrow;; e^-t/80=0,5 ;;Longrightarrow;; t=-80ln(0,5)=80ln2approx55,5 min :

Passo 4

Segunda parte – agora dmdt=2cdot1100-1cdotrho(t) =2200-mV(t), , dmdt+180+t,m=2200 , logo ddtl[m(80+t)r] =2200,(80+t) ;;Longrightarrow;; m(80+t)=2200l(80t+t^22r)+C .
O balanço de massa é
com .
Como , escrevemos
Usamos fator integrante . Então
Em , , então .

Passo 5

A densidade quando o tanque atinge 95 % do volume é no instante m(15) =2200l(80cdot15+tfrac15^22r)+6,4times10^695 =2,887,500+6,400,00095 approx97,763,16 kg , ou seja rho(15)=m(15)V(15)=97,763,1695approx1029,1 kg/m^3 min.
Logo

Resposta

Tempo para chegar a 1050 kg/m³: aproximadamente 55,5 min.
Densidade ao atingir 95 % do tanque (com , ): cerca de 1029,1 kg/m³.

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