Imagine que uma solução com densidade igual a
entre num tanque de agitação com volume de
operando com
de sua capacidade, cujo conteúdo esteja a uma densidade inicial de
. Sabendo que
, e que
, diga em quanto tempo a densidade do tanque será igual a
. Suponha agora que
e
. Qual será a densidade do conteúdo quando o tanque estiver com
de sua capacidade de volume?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos um tanque de agitação de 100 m³, mas ele está operando com 80 % dessa capacidade, então tem 80 m³ de líquido dentro com densidade inicial de 1000 kg/m³. Entra solução a 1100 kg/m³ e sai mistura no mesmo fluxo. Depois a gente muda o fluxo de entrada e saída e pergunta a densidade quando o volume chegar a 95 % da capacidade.
Conteúdo: problemas de mistura (mass balance) usando EDO (equações diferenciais) para massa e volume. Vamos precisar montar duas EDOs: uma com volume constante (Qin=Qout) e outra com volume variável (Qin≠Qout).
Conteúdo: problemas de mistura (mass balance) usando EDO (equações diferenciais) para massa e volume. Vamos precisar montar duas EDOs: uma com volume constante (Qin=Qout) e outra com volume variável (Qin≠Qout).
Passo 2
Primeira parte – volume constante (80 m³) porque
.
Teoria: para mistura perfeita, escrevemos balanço de massa:
Teoria: para mistura perfeita, escrevemos balanço de massa:
onde
. Como
é constante,
. Aqui
,
,
, e
. Então
Isso é uma EDO linear simples do tipo
, com
.
Passo 3
Resolvendo a EDO:
Queremos
:
Passo 4
Segunda parte – agora
,
, logo
.
O balanço de massa é
O balanço de massa é
com
.
Como , escrevemos
Como
Usamos fator integrante
. Então
Em
,
, então
.
Passo 5
A densidade quando o tanque atinge 95 % do volume é no instante
, ou seja
min.
Logo
Resposta
Tempo para chegar a 1050 kg/m³: aproximadamente 55,5 min.
Densidade ao atingir 95 % do tanque (com ,
): cerca de 1029,1 kg/m³.
Densidade ao atingir 95 % do tanque (com