Imagine que você queira saber a velocidade do som na prata sólida. Você tem uma bola pesada, de 41 kg . A massa atômica da prata é 108 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}, e a densidade da prata é 10.5 \mathrm{g} / \mathrm{cm}^{3}. Você pendura a bola numa haste retangular de prata, de medidas 2.6 \mathrm{~m}, 1.5 \mathrm{~mm} \mathrm{e} 3.1 mm . Medindo o estiramento da haste, você encontra o valor de 0.002898 m . Use 6 \times 10^{23} para a constante de Avogadro e \mathrm{g}=9.8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
a) Você
  1. precisa apenas medir a elasticidade da prata, obtendo o módulo de Young, que é proporcional à constante de mola atômica.
  2. não precisa calcular o diâmetro do átomo de prata, porque a dependência se cancela.
  3. não vai conseguir, porque faltam dados sobre a distância inter-atômica da prata.
  4. precisa de todos os dados acima.
    b) O volume de um átomo de prata é aproximadamente?
    c) O módulo de Young da prata é?
    d) A velocidade do som na prata?

Passo 1

Resumindo: a gente quer medir a velocidade do som na prata sólida usando uma haste retangular de prata que sustenta uma bola de 41,kg. A haste tem comprimento L=2{,}6,m e seção retangular de lados 1{,}5,mm e 3{,}1,mm; ao adicionar a bola, ela se estira \Delta L=0{,}002898,m. A prata tem massa atômica M=108,g/mol e densidade \rho=10{,}5,g/cm ^3. Vamos precisar de:
– Para (a) entender se basta medir o módulo de Young.
– Para (b) o volume atômico usando V_{\rm átomo}=M/(\rho\,N_A)á.
– Para (c) o módulo de Young via E=\sigma/\varepsilon com \sigma=F/A e \varepsilon=\Delta L/L.
– Para (d) a velocidade do som v=\sqrt{E/\rho}.

Passo 2

(a) A ideia é que, para achar a velocidade do som, a gente só precisa do módulo de Young macroscópico, que já engloba a “constante de mola atômica”. A dependência de diâmetro ou espaçamento atômico realmente desaparece quando usamos Young. Logo a resposta é a alternativa 1.

Passo 3

(b) Volume de um átomo de prata: primeiro converto tudo para SI. \rho=10{,}5,g/cm ^3= 10{,}5\times10^{3},kg/m ^3, M=108,g/mol= 0{,}108,kg/mol.
O volume molar é
V_{m}=\frac{M}{\rho} =\frac{0{,}108}{10{,}5\times10^{3}} \approx1{,}0286\times10^{-5}\,\text{m}^3/\text{mol}.
Dividindo pelo número de Avogadro, dá
V_{\rm átomo} =\frac{V_{m}}{N_A} \approx\frac{1{,}0286\times10^{-5}}{6\times10^{23}} \approx1{,}7\times10^{-29}\,\text{m}^3.á

Passo 4

(c) Módulo de Young E. A força é F=mg=41\times9{,}8=401{,}8,N. A área da seção é
A=(1{,}5\times10^{-3})(3{,}1\times10^{-3}) =4{,}65\times10^{-6}\,\text{m}^2.
O estresse \sigma=F/A e a deformação \varepsilon=\Delta L/L:
\sigma=\frac{401{,}8}{4{,}65\times10^{-6}} \approx8{,}64\times10^{7}\,\text{Pa}, \quad \varepsilon=\frac{0{,}002898}{2{,}6} \approx1{,}115\times10^{-3}.
Logo
E=\frac{\sigma}{\varepsilon} \approx\frac{8{,}64\times10^{7}}{1{,}115\times10^{-3}} \approx7{,}75\times10^{10}\,\text{Pa}.

Passo 5

(d) Velocidade do som na prata:
v=\sqrt{\frac{E}{\rho}} =\sqrt{\frac{7{,}75\times10^{10}}{10{,}5\times10^{3}}} \approx2{,}7\times10^{3}\,\text{m/s}.

Resposta

(a) 1
(b) 1{,}7\times10^{-29}\,\mathrm{m}^3
(c) 7{,}8\times10^{10}\,\mathrm{Pa}
(d) 2{,}7\times10^{3}\,\mathrm{m/s}

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