Questão 32

Você bate na ponta de uma barra de metal de comprimento 2.5 m e simultaneamente dispara um cronômetro eletrônico, que é automaticamente parado assim que um microfone, localizado na outra ponta da barra, detecta o som. O tempo medido pelo cronômetro é 0.6 ms e a densidade da barra é 7.4 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}.
Qual o módulo de Young do material?

Passo 1

O enunciado dá uma barra metálica de comprimento 2{,}5\\ \mathrm{m}. Ao bater numa ponta, começa-se a contar o tempo até que o som chegue à outra ponta, e esse tempo é 0{,}6\\ \mathrm{ms}. A densidade do material é 7{,}4\\ \mathrm{g/cm^3}. Queremos encontrar o módulo de Young E do material, sabendo que a velocidade v de uma onda longitudinal num sólido homogêneo satisfaz
v = \sqrt{\frac{E}{\rho}}.

Passo 2

Converter a densidade para unidades SI. Temos
\rho = 7{,}4\\ \mathrm{g/cm^3} = 7{,}4 \times 10^3\\ \mathrm{kg/m^3}.

Passo 3

Calcular a velocidade do som na barra a partir de v = L/t. O comprimento é L = 2{,}5\\ \mathrm{m} e o tempo t = 0{,}6\\ \mathrm{ms} = 0{,}6 \times 10^{-3}\\ \mathrm{s}. Então
v = \frac{2{,}5}{0{,}6 \times 10^{-3}}\\ \mathrm{m/s} = \frac{2{,}5}{0{,}0006}\\ \mathrm{m/s} \approx 4{,}17 \times 10^3\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Usar a relação E = \rho\,v^2. Substituindo \rho = 7{,}4\times10^3\\ \mathrm{kg/m^3} e v \approx 4{,}17\times10^3\\ \mathrm{m/s},
E = \bigl(7{,}4\times10^3\bigr)\,\bigl(4{,}17\times10^3\bigr)^2 \approx 7{,}4\times10^3 \times 17{,}4\times10^6 \approx 1{,}29\times10^{11}\\ \mathrm{Pa}.

Resposta

O módulo de Young do material é aproximadamente
E \approx 1{,}3 \times 10^{11}\\ \mathrm{Pa}.

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