Questão 33

O deslocamento longitudinal em uma onda em um sólido é descrito pela função u(x, t)= (1.5) \cos \left[(25.1 t)-(2.51 x)+\frac{\pi}{2}\right] (em unidades do SI).
Nas perguntas abaixo, dê suas respostas nas unidades indicadas, com duas casas decimais, usando o ponto como separador. Para essa onda, qual é
(a) a frequência angular \omega ?
(b) A frequência f?
(c) O período?
(d) O comprimento de onda \lambda ?
(e) A velocidade de propagação (use o sinal + caso a onda se propague no sentido positivo do eixo X e o sinal - caso se propague no sentido -X )?
(f) A amplitude da onda?
(g) No instante t=0, no ponto X=0, qual é o deslocamento longitudinal da onda?

Passo 1

O enunciado dá o deslocamento longitudinal de uma onda em um sólido na forma
u(x,t)=1{,}5\cos\bigl[25{,}1\,t - 2{,}51\,x + \tfrac{\pi}{2}\bigr]
(em unidades SI) e pede:
(a) frequência angular \omega,
(b) frequência f,
(c) período T,
(d) comprimento de onda \lambda,
(e) velocidade de propagação v,
(f) amplitude A,
(g) deslocamento em t=0 e x=0.
Vamos usar as relações padrão de onda harmônica unidimensional: \omega é o coeficiente de t, k é o coeficiente de x,
f = \frac{\omega}{2\pi},\quad T = \frac{1}{f},\quad \lambda = \frac{2\pi}{k},\quad v = \frac{\omega}{k}.

Passo 2

Extraímos os parâmetros comparando com
u(x,t)=A\cos\bigl(\omega t - k x + \varphi\bigr).
Aqui A=1{,}5, \omega=25{,}1, k=2{,}51 e \varphi=\tfrac{\pi}{2}.

Passo 3

A frequência angular é
\omega = 25{,}10\\ \text{rad/s}.

Passo 4

A frequência é
f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{25{,}1}{2\pi}\approx3{,}99\\ \text{Hz},
e o período é
T = \frac{1}{f}\approx0{,}25\\ \text{s}.

Passo 5

O comprimento de onda é
\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{2{,}51}\approx2{,}50\\ \text{m}.

Passo 6

A velocidade de propagação vale
v = \frac{\omega}{k} = \frac{25{,}1}{2{,}51} = 10{,}00\\ \text{m/s},
e como o termo é \omega t - kx, a onda vai no sentido +X.

Passo 7

A amplitude da oscilação é
A = 1{,}50\\ \text{m}.

Passo 8

No instante t=0 e ponto x=0,
u(0,0) = 1{,}5\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = 1{,}5\cdot0 = 0{,}00\\ \text{m}.

Resposta

(a) \omega = 25{,}10\\ \text{rad/s}
(b) f = 3{,}99\\ \text{Hz}
(c) T = 0{,}25\\ \text{s}
(d) \lambda = 2{,}50\\ \text{m}
(e) v = +10{,}00\\ \text{m/s}
(f) A = 1{,}50\\ \text{m}
(g) u(0,0) = 0{,}00\\ \text{m}

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