Questão 29

Imagine duas hastes de metal feitas de elementos distintos A e B . A dureza (constante elástica) das molas interatômicas do elemento A é 2 vezes maior do que a dureza interatômica do elemento B . A massa de um átomo do elemento A é 8 vezes maior do que a massa de um átomo do elemento B. Os diâmetros atômicos dos átomos de A e B são aproximadamente iguais. A razão da velocidade do som em A para a velocidade do som em B é:

Passo 1

O enunciado apresenta duas hastes metálicas formadas por átomos ligados por “molas” interatômicas. Para o elemento A, a constante elástica interatômica é o dobro da de B, ou seja,
k_A = 2\,k_B,
e a massa de um átomo de A é oito vezes a de B, isto é,
m_A = 8\,m_B.
Como os diâmetros atômicos são iguais, tomamos o espaçamento entre átomos a o mesmo em ambas as hastes. Pergunta-se a razão \tfrac{v_A}{v_B} das velocidades do som em A e em B.

Passo 2

Em um sólido unidimensional, podemos usar o modelo contínuo em que a velocidade de propagação de ondas longitudinais (velocidade do som) é dada por
v = \sqrt{\frac{E}{\rho}},
onde E é o módulo de Young e \rho é a densidade. Microscopicamente, se cada par de átomos de massa m e espaçamento a está ligado por uma mola de constante k, tem-se
E \sim \frac{k}{a}, \qquad \rho \sim \frac{m}{a^3}.
Substituindo em v, obtemos
v = \sqrt{\frac{k/a}{\,m/a^3}} = \sqrt{\frac{k\,a^2}{m}}.

Passo 3

Para cada material,
v_A = \sqrt{\frac{k_A\,a^2}{m_A}}, \qquad v_B = \sqrt{\frac{k_B\,a^2}{m_B}}.
A razão entre elas é
\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{k_A\,a^2/m_A}{\,k_B\,a^2/m_B}} = \sqrt{\frac{k_A}{k_B}\,\frac{m_B}{m_A}}.
Substituindo k_A/k_B=2 e m_B/m_A=1/8, vem
\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{2 \times \frac{1}{8}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \tfrac{1}{2}.

Resposta

A razão da velocidade do som em A para a de B é \displaystyle \frac{v_A}{v_B} = \tfrac12.

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