(IME 2022/2023) Sejam os números complexos
tais que suas partes reais e imaginárias formam, respectivamente, uma progressão aritmética e uma progressão geométrica crescentes de números reais e de mesma razão. Sabe-se que
e
onde
e
.
Considere
e
.
Calcule o valor de
em função de
.
Considere
Calcule o valor de
Passo 1
O enunciado diz que os complexos
têm
em progressão aritmética de razão
e
em progressão geométrica de razão
, com
. Sabe-se que
e que
com
. Definimos
e queremos
em função de
. Vamos precisar usar fórmulas de soma de PA e PG e propriedades de potências de
.
Passo 2
Pelas hipóteses, escrevemos
Em particular, para
:
Por outro lado,
logo
Igualando partes real e imaginária:
Substituindo
em
obtém-se
e como o PG é crescente,
. Então
.
Passo 3
Com
, o termo geral fica
Assim
Passo 4
Calculamos
Então
E
Passo 5
Subtraindo,
Divide-se por
e subtrai 1: