(IME 2022/2023) Sejam os números complexos z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n} tais que suas partes reais e imaginárias formam, respectivamente, uma progressão aritmética e uma progressão geométrica crescentes de números reais e de mesma razão. Sabe-se que z_{1}=2+5 i e z_{4}=m\left(i^{4 m}+5 i^{4 m+1}\right) onde m \in \mathbb{Z}_{+}^{*} e i^{2}=-1.
Considere S_{n}=\frac{1}{5} \sum_{k=1}^{n} z_{k} e A_{n}=\frac{2}{5} \sum_{k=1}^{n} k.
Calcule o valor de P=\frac{S_{n}-A_{n}}{i}-1 em função de n.

Passo 1

O enunciado diz que os complexos z_k têm \Re(z_k) em progressão aritmética de razão d e \Im(z_k) em progressão geométrica de razão r, com d=r. Sabe-se que
z_{1}=2+5\,i
e que
z_{4}=m\bigl(i^{4m}+5\,i^{4m+1}\bigr)
com m\in\mathbb{Z}_{+}^*. Definimos
S_{n}=\frac{1}{5}\sum_{k=1}^n z_k, \quad A_{n}=\frac{2}{5}\sum_{k=1}^n k,
e queremos
P=\frac{S_{n}-A_{n}}{i}-1
em função de n. Vamos precisar usar fórmulas de soma de PA e PG e propriedades de potências de i.

Passo 2

Pelas hipóteses, escrevemos
\Re(z_k)=2+(k-1)r, \quad \Im(z_k)=5\,r^{\,k-1}.
Em particular, para k=4:
\Re(z_4)=2+3r, \quad \Im(z_4)=5\,r^3.
Por outro lado,
i^{4m}=(i^4)^m=1, \quad i^{4m+1}=i,
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z_4=m\bigl(1+5i\bigr)=m+5m\,i.
Igualando partes real e imaginária:
2+3r=m, \quad 5\,r^3=5m\;\Longrightarrow\;r^3=m.
Substituindo m=r^3 em 2+3r=r^3 obtém-se
r^3-3r-2=0\;\Longrightarrow\;(r-2)(r+1)^2=0,
e como o PG é crescente, r=2. Então m=r^3=8.

Passo 3

Com r=2, o termo geral fica
\Re(z_k)=2+(k-1)\cdot2=2k, \quad \Im(z_k)=5\cdot2^{\,k-1}.
Assim
z_k=2k + i\,5\cdot2^{\,k-1}.

Passo 4

Calculamos
\sum_{k=1}^n z_k =\sum_{k=1}^n 2k + i\sum_{k=1}^n 5\cdot2^{\,k-1} =n(n+1) + i\cdot5\bigl(2^n-1\bigr).
Então
S_n=\frac{1}{5}\sum_{k=1}^n z_k =\frac{n(n+1)}{5}+i\bigl(2^n-1\bigr).
E
A_n=\frac{2}{5}\sum_{k=1}^n k =\frac{2}{5}\cdot\frac{n(n+1)}{2} =\frac{n(n+1)}{5}.

Passo 5

Subtraindo,
S_n - A_n =\Bigl(\tfrac{n(n+1)}{5}-\tfrac{n(n+1)}{5}\Bigr) +i\bigl(2^n-1\bigr) =i\bigl(2^n-1\bigr).
Divide-se por i e subtrai 1:
\frac{S_n - A_n}{i}-1 =(2^n-1)-1 =2^n-2.

Resposta

P=2^n - 2.

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