(IME) OS coeficientes
do polinômio
são tais que
, para
.
A) Quais são as possiveis raizes inteiras de
?
B) Quantos polinômios da forma acima têm duas raizes inteiras distintas?
A) Quais são as possiveis raizes inteiras de
B) Quantos polinômios da forma acima têm duas raizes inteiras distintas?
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
onde, para todo
com
, tem-se
. O grau é
(coeficiente líder
). O enunciado pede duas coisas:
A) Determinar quais são as possíveis raízes inteiras de .
B) Contar quantos polinômios desse tipo têm duas raízes inteiras distintas.
A) Determinar quais são as possíveis raízes inteiras de
B) Contar quantos polinômios desse tipo têm duas raízes inteiras distintas.
Informações relevantes que vamos usar:
- Cada coeficiente
é ou . - Raiz inteira
exige . - Índices par/ímpar serão úteis ao avaliar
.
A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Testando possíveis raízes inteiras positivas grandes: se
inteiro então todos os termos
e
são não-negativos e
. Em particular,
logo
. Portanto nenhum inteiro
pode ser raiz.
Passo 3
Testando
e
:
- Para
,
portanto
e
não é raiz.
- Para
,
Como
, resulta que
é raiz exatamente quando
. Logo
é uma possível raiz (dependendo do coeficiente).
Passo 4
Testando inteiros negativos com grande módulo: seja
. Note
. Compare os termos em módulo:
porque
. O termo líder é
e como
é ímpar,
tem sinal negativo e módulo
. Assim o termo líder tem módulo maior que a soma dos módulos dos outros termos, e seu sinal (negativo) não pode ser anulado pelos demais termos (soma de menores módulos). Logo
para todo
. Portanto nenhum inteiro
é raiz.
Passo 5
Sobram apenas os candidatos inteiros
e
(já tratamos
). Avaliando
:
Separe somas em índices pares e ímpares: defina
Então
e a condição
fica
Como
, essa igualdade pode ser satisfeita por escolhas apropriadas dos
. Portanto
também é uma possível raiz (para os polinômios que satisfazem a condição acima).
Passo 6
Conclusão da parte A: os únicos inteiros que podem ser raízes são
e
.
-
é raiz se e somente se . -
é raiz se e somente se .
Passo 7
Agora a parte B: queremos contar quantos polinômios têm duas raízes inteiras distintas. Pelos resultados anteriores, as duas raízes possíveis e distintas são exatamente
e
. Portanto precisamos contar quantas escolhas dos
satisfazem simultaneamente:
(i) (para que
seja raiz),
(ii) (para que
seja raiz).
(i)
(ii)
Passo 8
Contagem concreta. Contemos índices:
- Há
coeficientes . - O conjunto de índices pares entre
e tem tamanho (são ). - O conjunto de índices ímpares entre
e tem tamanho .
A condição
fixa um dos índices pares como zero, logo restam
posições pares (índices
) e
posições ímpares livres. Denote por
o número de uns colocados nas posições pares restantes; então o total de uns em posições pares é
(pois
). A condição
implica
.
Assim para cada
com
escolhemos:
-
índices entre as posições pares para colocar : escolhas; -
índices entre as posições ímpares para colocar : escolhas.
Os demais coeficientes ficam. Portanto o número total de polinômios com ambas as raízes é
Passo 9
Simplificar a soma usando a identidade de Vandermonde. Para
e
vale a identidade
Tomando
e observando que o termo
é nulo na soma original porque
, temos
Portanto o número pedido é
.
Resposta
A) As possíveis raízes inteiras são
e
.
ocorre iff
.
ocorre iff
.
B)
B)