(IME) OS coeficientes a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2014} do polinômio P(x)=x^{2015}+a_{2014} x^{2014}+\ldots+a_{2} x^{2}+a_{1} x^{1}+a_{0} são tais que a_{1} \in\{0,1\}, para 0 \leq i \leq 2014.
A) Quais são as possiveis raizes inteiras de P(x) ?
B) Quantos polinômios da forma acima têm duas raizes inteiras distintas?

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
P(x)=x^{2015}+a_{2014}x^{2014}+\cdots+a_{1}x+a_{0},
onde, para todo i com 0\le i\le 2014, tem-se a_i\in\{0,1\}. O grau é 2015 (coeficiente líder 1). O enunciado pede duas coisas:
A) Determinar quais são as possíveis raízes inteiras de P(x).
B) Contar quantos polinômios desse tipo têm duas raízes inteiras distintas.
Informações relevantes que vamos usar:
  • Cada coeficiente a_i é 0 ou 1.
  • Raiz inteira r exige P(r)=0.
  • Índices par/ímpar serão úteis ao avaliar x=-1.
    A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Testando possíveis raízes inteiras positivas grandes: se r\ge 2 inteiro então todos os termos r^{2015} e a_i r^i são não-negativos e r^{2015}>0. Em particular,
P(r)=r^{2015}+\sum_{i=0}^{2014} a_i r^i \ge r^{2015}>0,
logo P(r)\neq 0. Portanto nenhum inteiro r\ge 2 pode ser raiz.

Passo 3

Testando r=1 e r=0:
  • Para r=1,
P(1)=1+\sum_{i=0}^{2014} a_i \ge 1,
portanto P(1)>0 e 1 não é raiz.
  • Para r=0,
P(0)=a_0.
Como a_0\in\{0,1\}, resulta que 0 é raiz exatamente quando a_0=0. Logo 0 é uma possível raiz (dependendo do coeficiente).

Passo 4

Testando inteiros negativos com grande módulo: seja r\le -2. Note |r|\ge 2. Compare os termos em módulo:
\sum_{i=0}^{2014} |r|^i=\frac{|r|^{2015}-1}{|r|-1}<|r|^{2015},
porque |r|-1\ge 1. O termo líder é r^{2015} e como 2015 é ímpar, r^{2015} tem sinal negativo e módulo |r|^{2015}. Assim o termo líder tem módulo maior que a soma dos módulos dos outros termos, e seu sinal (negativo) não pode ser anulado pelos demais termos (soma de menores módulos). Logo P(r)\neq 0 para todo r\le -2. Portanto nenhum inteiro r\le -2 é raiz.

Passo 5

Sobram apenas os candidatos inteiros -1 e 0 (já tratamos 0). Avaliando x=-1:
P(-1)=(-1)^{2015}+\sum_{i=0}^{2014} a_i(-1)^i = -1+\sum_{i=0}^{2014} a_i(-1)^i.
Separe somas em índices pares e ímpares: defina
S_{\text{par}}=\sum_{\substack{0\le i\le 2014\\\ i\\ \text{par}}} a_i,\qquad S_{\text{ímpar}}=\sum_{\substack{0\le i\le 2014\\\ i\\ \text{ímpar}}} a_i.íí
Então
\sum_{i=0}^{2014} a_i(-1)^i = S_{\text{par}}-S_{\text{ímpar}},í
e a condição P(-1)=0 fica
-1 + (S_{\text{par}}-S_{\text{ímpar}})=0 \quad\Longleftrightarrow\quad S_{\text{par}}-S_{\text{ímpar}}=1.íí
Como a_i\in\{0,1\}, essa igualdade pode ser satisfeita por escolhas apropriadas dos a_i. Portanto -1 também é uma possível raiz (para os polinômios que satisfazem a condição acima).

Passo 6

Conclusão da parte A: os únicos inteiros que podem ser raízes são 0 e -1.
  • 0 é raiz se e somente se a_0=0.
  • -1 é raiz se e somente se \displaystyle \sum_{i\\ \text{par}} a_i - \sum_{i\\ \text{ímpar}} a_i =1í.

Passo 7

Agora a parte B: queremos contar quantos polinômios têm duas raízes inteiras distintas. Pelos resultados anteriores, as duas raízes possíveis e distintas são exatamente 0 e -1. Portanto precisamos contar quantas escolhas dos a_i\in\{0,1\} satisfazem simultaneamente:
(i) a_0=0 (para que 0 seja raiz),
(ii) S_{\text{par}}-S_{\text{ímpar}}=1í (para que -1 seja raiz).

Passo 8

Contagem concreta. Contemos índices:
  • 2015 coeficientes a_0,\dots,a_{2014}.
  • O conjunto de índices pares entre 0 e 2014 tem tamanho 1008 (são 0,2,\dots,2014).
  • O conjunto de índices ímpares entre 0 e 2014 tem tamanho 1007.
A condição a_0=0 fixa um dos índices pares como zero, logo restam 1007 posições pares (índices 2,4,\dots,2014) e 1007 posições ímpares livres. Denote por k o número de uns colocados nas posições pares restantes; então o total de uns em posições pares é S_{\text{par}}=k (pois a_0=0). A condição S_{\text{par}}-S_{\text{ímpar}}=1í implica S_{\text{ímpar}}=k-1í.
Assim para cada k com 1\le k\le 1007 escolhemos:
  • k índices entre as 1007 posições pares para colocar 1: \binom{1007}{k} escolhas;
  • k-1 índices entre as 1007 posições ímpares para colocar 1: \binom{1007}{k-1} escolhas.
    Os demais coeficientes ficam 0. Portanto o número total de polinômios com ambas as raízes é
\sum_{k=1}^{1007} \binom{1007}{k}\binom{1007}{k-1}.

Passo 9

Simplificar a soma usando a identidade de Vandermonde. Para n=1007 e r=n+1 vale a identidade
\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\binom{n}{r-k}=\binom{2n}{r}.
Tomando r=n+1 e observando que o termo k=0 é nulo na soma original porque \binom{n}{-1}=0, temos
\sum_{k=1}^{1007} \binom{1007}{k}\binom{1007}{k-1}=\binom{2014}{1008}.
Portanto o número pedido é \displaystyle \binom{2014}{1008}.

Resposta

A) As possíveis raízes inteiras são 0 e -1. 0 ocorre iff a_0=0. -1 ocorre iff \displaystyle \sum_{i\\ \text{par}} a_i-\sum_{i\\ \text{ímpar}} a_i=1í.
B) \displaystyle \binom{2014}{1008}

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