✓ Use a interpolação Padrão para resolver as atividades abaixo.
✓ Quando necessário, use arredondamento com pelo menos 4 casas decimais.
✓ Todo sistema linear deve ser resolvido pelo método de Gauss ou Gauss- Jordan.
Considere a tabela:
x y
4,0 18,6
5,5 17,2
8,0 25,8
a) Encontre uma equação para a parábola que passa pelos pontos dados.
b) Faça uma estimativa para o valor de y correspondente a \mathrm{x}=6,0.
c) Faça uma estimativa para o valor de y correspondente a \mathrm{x}=7,5}.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos\n
  • Tem-se três pontos da forma (x,y): (4,0,\;18,6), (5,5,\;17,2) e (8,0,\;25,8). (Peguei os três pares (x,y) da tabela do enunciado.)\n
  • Perguntas:
    1. (a) Encontrar uma equação para a parábola que passa pelos três pontos (ou seja, achar a,b,c tais que y=ax^{2}+bx+c e a parábola passa pelos pontos dados).
    2. (b) Estimar y em x=6,0 usando essa parábola.
    3. (c) Estimar y em x=7,5 usando essa parábola.

Passo 2

Montar o sistema linear que determina os coeficientes a,b,c\n
  • Para uma parábola geral escolhemos \;y=ax^{2}+bx+c\;. Substituindo cada ponto, obtemos três equações:
16a+4b+c=18,6
30,25a+5,5b+c=17,2
64a+8b+c=25,8
(Aqui calculei 4^{2}=16 e (5,5)^{2}=30,25.)

Passo 3

Eliminar c para reduzir para um sistema 2\times2 — operação do método de Gauss (eliminação)\n
  • Subtraindo a primeira equação das outras duas (operação elementar de linhas) para eliminar c:
(64a+8b+c)-(16a+4b+c)=48a+4b=\;25,8-18,6=7,2
(30,25a+5,5b+c)-(16a+4b+c)=\left(30,25-16\right)a+\left(5,5-4\right)b=\;17,2-18,6=-1,4
  • Simplificando a primeira dessas duas: 48a+4b=7,2 divide-se por 4:
12a+b=\;1,8 \quad\text{(ou seja }12a+b=\tfrac{9}{5}\text{).}
  • Para a segunda: 30,25-16=14,25=\tfrac{57}{4} e 5,5-4=1,5=\tfrac{3}{2}. Então:
\frac{57}{4}a+\frac{3}{2}b=-1,4 \quad\text{(ou multiplicando por 4)}\quad 57a+6b=-5,6 \quad\text{(ou }57a+6b=-\tfrac{28}{5}\text{).}
  • Agora temos o sistema 2\times2:
\begin{cases} 12a + b = \tfrac{9}{5},\\[4pt] 57a + 6b = -\tfrac{28}{5}. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema 2\times2 por eliminação (continuação do método de Gauss)\n
  • Escrevendo a forma aumentada:
\begin{pmatrix} 12 & 1 & \vline & \tfrac{9}{5}\\[4pt] 57 & 6 & \vline & -\tfrac{28}{5} \end{pmatrix}
  • Elimino o primeiro coeficiente da segunda linha: faço \text{R}_2 \leftarrow \text{R}_2 - \dfrac{57}{12}\,\text{R}_1.
    • Novo segundo elemento (coluna b): 6 - \dfrac{57}{12}\cdot 1 = 6 - \dfrac{57}{12} = \dfrac{72-57}{12} = \dfrac{15}{12} = \dfrac{5}{4}.
    • Novo termo à direita: -\dfrac{28}{5} - \dfrac{57}{12}\cdot \dfrac{9}{5} = -\dfrac{28}{5} - \dfrac{57\cdot 9}{60} = -\dfrac{28}{5} - \dfrac{513}{60}. Colocando em denominador comum 60: -\dfrac{336}{60} - \dfrac{513}{60} = -\dfrac{849}{60} = -\dfrac{283}{20}.
    • Portanto a segunda linha passa a ser \;0\cdot a + \dfrac{5}{4}b = -\dfrac{283}{20}.
  • Daí b = \dfrac{-\tfrac{283}{20}}{\tfrac{5}{4}} = -\dfrac{283}{20}\cdot \dfrac{4}{5} = -\dfrac{283}{25}.
  • Substituindo b em 12a+b=\tfrac{9}{5}:
12a = \tfrac{9}{5}-b = \tfrac{9}{5}-\Big(-\tfrac{283}{25}\Big)=\tfrac{9}{5}+\tfrac{283}{25}=\tfrac{45+283}{25}=\tfrac{328}{25},
logo
a=\dfrac{328}{25}\cdot\dfrac{1}{12}=\dfrac{328}{300}=\dfrac{82}{75}.]

Passo 5

Determinar c usando uma equação original (substituição)\n
  • Use a primeira equação 16a+4b+c=18,6. Substituindo a=\dfrac{82}{75} e b=-\dfrac{283}{25}:
c = 18,6 - 16a - 4b.
  • Calculando com frações (para exatidão):
16a=16\cdot\dfrac{82}{75}=\dfrac{1312}{75},\qquad 4b=4\cdot\Big(-\dfrac{283}{25}\Big)=-\dfrac{1132}{25}=-\dfrac{3396}{75}.
c=\dfrac{93}{5}-\dfrac{1312}{75}+\dfrac{3396}{75}=\dfrac{1395-1312+3396}{75}=\dfrac{3479}{75}.

Passo 6

Apresentar a parábola (forma fracionária exata) e as aproximações decimais\n
  • Coeficientes exatos:
a=\dfrac{82}{75},\qquad b=-\dfrac{283}{25},\qquad c=\dfrac{3479}{75}.
  • Aproximações decimais (com pelo menos 4 casas decimais):
a\approx 1,0933,\qquad b\approx -11,3200,\qquad c\approx 46,3867.

Passo 7

Estimativa de y em x=6,0 (usar a parábola encontrada)\n
  • Calcule y(6)=a\cdot 6^{2}+b\cdot 6 + c. Usando frações exatas:
y(6)=\dfrac{82}{75}\cdot 36 - \dfrac{283}{25}\cdot 6 + \dfrac{3479}{75} = \dfrac{2952 -5094 +3479}{75}=\dfrac{1337}{75}.
  • Em decimal: \dfrac{1337}{75}\approx 17,8266\ldots Arredondando com pelo menos 4 casas decimais: y(6,0)\approx 17,8267.

Passo 8

Estimativa de y em x=7,5\n
  • Para x=7,5=\tfrac{15}{2}, (7,5)^{2}=\tfrac{225}{4}. Então
y(7,5)=\dfrac{82}{75}\cdot \dfrac{225}{4} - \dfrac{283}{25}\cdot \dfrac{15}{2} + \dfrac{3479}{75}.
  • Simplificando passo a passo (exato):
\dfrac{82}{75}\cdot \dfrac{225}{4}=\dfrac{82\cdot 225}{300}= \dfrac{246}{4}=61,5,
-\dfrac{283}{25}\cdot \dfrac{15}{2}=-\dfrac{4245}{50}=-84,9,
y(7,5)=61,5-84,9+46,386666\ldots=22,986666\ldots
  • Arredondando com pelo menos 4 casas decimais: y(7,5)\approx 22,9867.

Resposta

y=\dfrac{82}{75}x^{2}-\dfrac{283}{25}x+\dfrac{3479}{75} \approx y=1,0933x^{2}-11,3200x+46,3867
y(6,0)\approx 17,8267
y(7,5)\approx 22,9867

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