✓ Use a interpolação Padrão para resolver as atividades abaixo.
✓ Quando necessário, use arredondamento com pelo menos 4 casas decimais.
✓ Todo sistema linear deve ser resolvido pelo método de Gauss ou Gauss- Jordan.
Considere a tabela:
x
y
2,0
11,2
4,0
9,6
6,0
7,4
8,0
8,5
a) Encontre um polinômio que passa pelos pontos dados.
b) Faça uma estimativa para o valor de y correspondente a \mathrm{x}=5,4.
c) Faça uma estimativa para o valor de y correspondente a \mathrm{x}=7,2}.
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
(a) Encontrar um polinômio que passa exatamente pelos quatro pontos fornecidos.
(b) Usar esse polinômio para estimar y em x=5,4.
(c) Usar esse polinômio para estimar y em x=7,2.
As informações dadas (extraídas da tabela) são os quatro pares (x,y):
\;x=2,0 com y=11,2.
\;x=4,0 com y=9,6.
\;x=6,0 com y=7,4.
\;x=8,0 com y=8,5.
Observação importante (já definida pelo enunciado): usar “interpolação padrão” — com quatro pontos distintos existe um único polinômio de grau menor ou igual a 3 que passa por todos eles. Vou construir o polinômio
p(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d
e determinar a,b,c,d impondo que p(x) assuma os valores dados nos quatro pontos. O sistema linear resultante será resolvido pelo método de Gauss, conforme pedido.
Passo 2
Montar as quatro equações impondo p(x_i)=y_i. Substituindo cada ponto:
(Notas rápidas sobre como foram obtidos alguns elementos: por exemplo, em R2 a nova segunda coluna é 16-64\cdot0,5=16-32=-16; o termo independente é 9,6-64\cdot1,4=9,6-89,6=-80, etc.)]
Passo 5
Agora normalizar a segunda linha para obter pivô 1 na coluna 2: dividir R2 por -16:
Cálculos (exemplos): em R4, a nova coluna 4 é 21-24\cdot\tfrac{11}{12}=21-22=-1; o termo independente é 251,7-24\cdot\tfrac{65}{6}=251,7-260=-8,3. O sistema fica:
Escrever explicitamente o polinômio interpolador obtido:
p(x)=0,08125\,x^{3}-1,05\,x^{2}+3,225\,x+8,3.
Verificação rápida (cheque mental): inserindo x=2,0;4,0;6,0;8,0 obtém-se exatamente 11,2;\,9,6;\,7,4;\,8,5, então o polinômio interpola corretamente os quatro pontos.
Passo 12
Calcular a estimativa para x=5,4. Primeiro compute potências: