✓ Use a interpolação Padrão para resolver as atividades abaixo.
✓ Quando necessário, use arredondamento com pelo menos 4 casas decimais.
✓ Todo sistema linear deve ser resolvido pelo método de Gauss ou Gauss- Jordan.
Considere a tabela:
x y
2,0 11,2
4,0 9,6
6,0 7,4
8,0 8,5
a) Encontre um polinômio que passa pelos pontos dados.
b) Faça uma estimativa para o valor de y correspondente a \mathrm{x}=5,4.
c) Faça uma estimativa para o valor de y correspondente a \mathrm{x}=7,2}.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • (a) Encontrar um polinômio que passa exatamente pelos quatro pontos fornecidos.
  • (b) Usar esse polinômio para estimar y em x=5,4.
  • (c) Usar esse polinômio para estimar y em x=7,2.
As informações dadas (extraídas da tabela) são os quatro pares (x,y):
  • \;x=2,0 com y=11,2.
  • \;x=4,0 com y=9,6.
  • \;x=6,0 com y=7,4.
  • \;x=8,0 com y=8,5.
Observação importante (já definida pelo enunciado): usar “interpolação padrão” — com quatro pontos distintos existe um único polinômio de grau menor ou igual a 3 que passa por todos eles. Vou construir o polinômio
p(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d
e determinar a,b,c,d impondo que p(x) assuma os valores dados nos quatro pontos. O sistema linear resultante será resolvido pelo método de Gauss, conforme pedido.

Passo 2

Montar as quatro equações impondo p(x_i)=y_i. Substituindo cada ponto:
\begin{cases} 8a+4b+2c+d=11,2 & \text{(para }x=2,0\text{)}\\[4pt] 64a+16b+4c+d=9,6 & \text{(para }x=4,0\text{)}\\[4pt] 216a+36b+6c+d=7,4 & \text{(para }x=6,0\text{)}\\[4pt] 512a+64b+8c+d=8,5 & \text{(para }x=8,0\text{)} \end{cases}
Escrevendo a forma matricial aumentada (linha por linha):
\left[\begin{array}{rrrr|r} 8 & 4 & 2 & 1 & 11,2\\[2pt] 64 & 16 & 4 & 1 & 9,6\\[2pt] 216 & 36 & 6 & 1 & 7,4\\[2pt] 512 & 64 & 8 & 1 & 8,5 \end{array}\right]]

Passo 3

Aplicar eliminação de Gauss. Primeiro passo: tornar o primeiro pivô igual a 1 dividindo a primeira linha por 8:
R1 \leftarrow \tfrac{1}{8}R1 \quad\Rightarrow\quad \left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 0,5 & 0,25 & 0,125 & 1,4\\[2pt] 64 & 16 & 4 & 1 & 9,6\\[2pt] 216 & 36 & 6 & 1 & 7,4\\[2pt] 512 & 64 & 8 & 1 & 8,5 \end{array}\right]]

Passo 4

Zerar a coluna 1 nas linhas 2, 3 e 4 usando a linha 1:
\begin{aligned} R2 &\leftarrow R2 - 64R1 \\\ R3 &\leftarrow R3 - 216R1 \\\ R4 &\leftarrow R4 - 512R1 \end{aligned}
Resultado:
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 0,5 & 0,25 & 0,125 & 1,4\\[2pt] 0 & -16 & -12 & -7 & -80\\[2pt] 0 & -72 & -48 & -26 & -295\\[2pt] 0 & -192 & -120 & -63 & -708,3 \end{array}\right]
(Notas rápidas sobre como foram obtidos alguns elementos: por exemplo, em R2 a nova segunda coluna é 16-64\cdot0,5=16-32=-16; o termo independente é 9,6-64\cdot1,4=9,6-89,6=-80, etc.)]

Passo 5

Agora normalizar a segunda linha para obter pivô 1 na coluna 2: dividir R2 por -16:
R2 \leftarrow \tfrac{1}{-16}R2 \quad\Rightarrow\quad \left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 0,5 & 0,25 & 0,125 & 1,4\\[2pt] 0 & 1 & 0,75 & 0,4375 & 5\\[2pt] 0 & -72 & -48 & -26 & -295\\[2pt] 0 & -192 & -120 & -63 & -708,3 \end{array}\right]]

Passo 6

Zerar a coluna 2 nas outras linhas usando R2:
\begin{aligned} R3 &\leftarrow R3 + 72R2\\\ R4 &\leftarrow R4 + 192R2\\\ R1 &\leftarrow R1 - 0,5R2 \end{aligned}
Feitas as contas obtemos
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 0 & 0 & -\tfrac{5}{48} & 1,4- \tfrac{65}{24}\\[4pt] 0 & 1 & 0,75 & 0,4375 & 5\\[4pt] 0 & 0 & 6 & 5,5 & 65\\[4pt] 0 & 0 & 24 & 21 & 251,7 \end{array}\right]
Para clareza numérica: 1,4-\tfrac{65}{24}=-1,308333333\ldots (conservarei frações exatas quando útil).]

Passo 7

Normalizar a terceira linha dividindo por 6 para obter pivô 1 na coluna 3:
R3 \leftarrow \tfrac{1}{6}R3 \quad\Rightarrow\quad \left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 0 & 0 & -\tfrac{5}{48} & 1,4- \tfrac{65}{24}\\[4pt] 0 & 1 & 0,75 & 0,4375 & 5\\[4pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{11}{12} & \tfrac{65}{6}\\[4pt] 0 & 0 & 24 & 21 & 251,7 \end{array}\right]]

Passo 8

Zerar a coluna 3 nas linhas 4, 2 e 1 usando R3:
\begin{aligned} R4 &\leftarrow R4 - 24R3 \\\ R2 &\leftarrow R2 - 0,75R3 \\\ R1 &\leftarrow R1 - 0,25R3 \end{aligned}
Cálculos (exemplos): em R4, a nova coluna 4 é 21-24\cdot\tfrac{11}{12}=21-22=-1; o termo independente é 251,7-24\cdot\tfrac{65}{6}=251,7-260=-8,3. O sistema fica:
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 0 & 0 & -\tfrac{5}{48} & -1,308333333\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -\tfrac{1}{4} & -3,125\\[4pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{11}{12} & \tfrac{65}{6}\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -1 & -8,3 \end{array}\right]]

Passo 9

Normalizar a quarta linha dividindo por -1 (aqui já se obtém d):
R4 \leftarrow -R4 \quad\Rightarrow\quad \left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 0 & 0 & -\tfrac{5}{48} & -1,308333333\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -\tfrac{1}{4} & -3,125\\[4pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{11}{12} & \tfrac{65}{6}\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 8,3 \end{array}\right]
Portanto, diretamente:
d=8,3.]

Passo 10

Fazer substituição regressiva para encontrar c,b,a.
Da linha 3:
c+\tfrac{11}{12}d=\tfrac{65}{6}
Substituindo d=8,3:
c=\tfrac{65}{6}-\tfrac{11}{12}\cdot 8,3=\;10,83333333-\;7,60833333=3,225.
Logo c=3,225.
Da linha 2:
b-\tfrac{1}{4}d=-3,125
Logo
b=-3,125+\tfrac{1}{4}\cdot 8,3=-3,125+2,075=-1,05.
Da linha 1:
a+\tfrac{1}{2}b-\tfrac{5}{48}d=-1,308333333
Isolando a:
a=-1,308333333-\tfrac{1}{2}b+\tfrac{5}{48}d.
Substituindo b=-1,05 e d=8,3:
a=-1,308333333- \tfrac{1}{2}(-1,05)+\tfrac{5}{48}\cdot 8,3 = -1,308333333+0,525+0,864583333=0,08125.
Resumo dos coeficientes (com precisão suficiente):
a=0,08125,\quad b=-1,05,\quad c=3,225,\quad d=8,3.

Passo 11

Escrever explicitamente o polinômio interpolador obtido:
p(x)=0,08125\,x^{3}-1,05\,x^{2}+3,225\,x+8,3.
Verificação rápida (cheque mental): inserindo x=2,0;4,0;6,0;8,0 obtém-se exatamente 11,2;\,9,6;\,7,4;\,8,5, então o polinômio interpola corretamente os quatro pontos.

Passo 12

Calcular a estimativa para x=5,4. Primeiro compute potências:
5,4^{2}=29,16,\qquad 5,4^{3}=157,464.
Agora avaliar p(5,4):
\begin{aligned} p(5,4)&=0,08125\cdot 157,464 \;-\;1,05\cdot 29,16 \;+\;3,225\cdot 5,4 \;+\;8,3\\[4pt] &=12,79395\;-\;30,618\;+\;17,415\;+\;8,3\\[4pt] &=7,89095. \end{aligned}
Arredondando com pelo menos quatro casas decimais: p(5,4)\approx 7,8910.]

Passo 13

Calcular a estimativa para x=7,2. Potências:
7,2^{2}=51,84,\qquad 7,2^{3}=373,248.
Avaliação:
\begin{aligned} p(7,2)&=0,08125\cdot 373,248 \;-\;1,05\cdot 51,84 \;+\;3,225\cdot 7,2 \;+\;8,3\\[4pt] &=30,3264\;-\;54,432\;+\;23,22\;+\;8,3\\[4pt] &=7,4144. \end{aligned}
Com quatro casas decimais: p(7,2)=7,4144.]

Resposta

(a) p(x)=0,08125\,x^{3}-1,05\,x^{2}+3,225\,x+8,3
(b) p(5,4)\approx 7,8910
(c) p(7,2)=7,4144

Exercícios relacionados