(IME) Demonstre analiticamente que, se uma reta perpendicular a uma corda de uma circunferência passa pelo seu centro, então ela divide a corda no seu ponto médio.

Passo 1

O enunciado (resumindo o que é dado e o que se pede):
  • Dado: uma circunferência com centro O e uma corda AB.
  • Dado: uma reta que passa por O e é perpendicular à corda AB; essa reta encontra AB em um ponto M.
  • Pedido: demonstrar analiticamente que a reta divide a corda em seu ponto médio, ou seja, provar que M é o ponto médio de AB (equivalentemente, provar que AM = MB).

Passo 2

Primeiro vamos lembrar definições e fatos simples que usaremos (sem pressa):
  • Uma corda de uma circunferência é um segmento que liga dois pontos da circunferência; aqui a corda é AB.
  • O centro O é o ponto equidistante de todos os pontos da circunferência; portanto os segmentos OA e OB são raios da circunferência e valem o mesmo comprimento.
  • Dizer que a reta que passa por O é perpendicular a AB e intercepta AB em M significa que os ângulos \angle AMO e \angle BMO são retos, isto é, \angle AMO = \angle BMO = 90^\circ.

Passo 3

Para comparar os dois pedaços da corda, considere os dois triângulos \triangle OMA e \triangle OMB. Vou listar os elementos que podemos comparar entre esses triângulos:
  • Ambos têm um ângulo reto em M: \angle AMO = 90^\circ e \angle BMO = 90^\circ (por hipótese de perpendicularidade).
  • Os segmentos OA e OB são raios da mesma circunferência, logo
OA = OB.
  • O segmento OM é comum aos dois triângulos, logo
OM = OM.

Passo 4

Agora explico o critério de congruência que vamos usar (é como uma pequena “aula” do que é permitido usar): para triângulos retângulos existe o critério Hipotenusa-Lado (às vezes chamado RHS — right angle, hypotenuse, side): se dois triângulos retângulos têm hipotenusas iguais e uma perna (um cateto) igual, então os triângulos são congruentes (ou seja, têm todos os lados e ângulos correspondentes iguais). Aqui aplicamos esse critério aos triângulos \triangle OMA e \triangle OMB:
  • Hipotenusas: em cada triângulo a hipotenusa é OA em \triangle OMA e OB em \triangle OMB; já vimos que OA = OB.
  • Uma perna comum: OM é um cateto em ambos os triângulos e OM = OM.
Portanto, pelas hipóteses do problema e pelo critério Hipotenusa-Lado, concluímos que
\triangle OMA \cong \triangle OMB.

Passo 5

Quando dois triângulos são congruentes, os segmentos correspondentes são iguais. Nas nossas correspondências, o segmento AM em \triangle OMA corresponde ao segmento MB em \triangle OMB. Da congruência segue
AM = MB.

Passo 6

A igualdade AM = MB diz exatamente que M é o ponto médio do segmento AB. Logo a reta que passa por O e é perpendicular à corda AB divide a corda no seu ponto médio.

Resposta

M é o ponto médio de AB; ou seja, AM = MB.

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