(IME) Demonstre analiticamente que, se uma reta perpendicular a uma corda de uma circunferência passa pelo seu centro, então ela divide a corda no seu ponto médio.
Passo 1
O enunciado (resumindo o que é dado e o que se pede):
- Dado: uma circunferência com centro
e uma corda . - Dado: uma reta que passa por
e é perpendicular à corda ; essa reta encontra em um ponto . - Pedido: demonstrar analiticamente que a reta divide a corda em seu ponto médio, ou seja, provar que
é o ponto médio de (equivalentemente, provar que ).
Passo 2
Primeiro vamos lembrar definições e fatos simples que usaremos (sem pressa):
- Uma corda de uma circunferência é um segmento que liga dois pontos da circunferência; aqui a corda é
. - O centro
é o ponto equidistante de todos os pontos da circunferência; portanto os segmentos e são raios da circunferência e valem o mesmo comprimento. - Dizer que a reta que passa por
é perpendicular a e intercepta em significa que os ângulos e são retos, isto é, .
Passo 3
Para comparar os dois pedaços da corda, considere os dois triângulos
e
. Vou listar os elementos que podemos comparar entre esses triângulos:
- Ambos têm um ângulo reto em
: e (por hipótese de perpendicularidade). - Os segmentos
e são raios da mesma circunferência, logo
- O segmento
é comum aos dois triângulos, logo
Passo 4
Agora explico o critério de congruência que vamos usar (é como uma pequena “aula” do que é permitido usar): para triângulos retângulos existe o critério Hipotenusa-Lado (às vezes chamado RHS — right angle, hypotenuse, side): se dois triângulos retângulos têm hipotenusas iguais e uma perna (um cateto) igual, então os triângulos são congruentes (ou seja, têm todos os lados e ângulos correspondentes iguais). Aqui aplicamos esse critério aos triângulos
e
:
- Hipotenusas: em cada triângulo a hipotenusa é
em e em ; já vimos que . - Uma perna comum:
é um cateto em ambos os triângulos e .
Portanto, pelas hipóteses do problema e pelo critério Hipotenusa-Lado, concluímos que
Passo 5
Quando dois triângulos são congruentes, os segmentos correspondentes são iguais. Nas nossas correspondências, o segmento
em
corresponde ao segmento
em
. Da congruência segue
Passo 6
A igualdade
diz exatamente que
é o ponto médio do segmento
. Logo a reta que passa por
e é perpendicular à corda
divide a corda no seu ponto médio.