Resolver o seguintes exercícios do Livro Texto.
O preço à vista de uma mercadoria é R
. Calcular a taxa de juros.
O preço à vista de uma mercadoria é R . Calcular a taxa de juros.
Passo 1
O enunciado dá o seguinte: o preço à vista de uma mercadoria é
. Pode-se pagar também com entrada de
mais
prestações mensais de
. A pergunta é: calcular a taxa de juros (a taxa mensal que torna os dois preços equivalentes).
Informações relevantes:
- Preço à vista:
. - Entrada (pagamento imediato):
. - Número de prestações:
. - Valor de cada prestação (mensal, paga ao final de cada mês):
. - Procuramos a taxa de juros mensal
tal que o valor presente da compra financiada (entrada + valor presente das 12 prestações) seja igual a .
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (aulas rápidas e diretas):
Quando se tem uma série de
pagamentos iguais
feitos no final de cada período (anuidade-imediata), o valor presente
dessa anuidade à taxa de juros por período
é a soma geométrica
Essa soma é uma série geométrica com razão
. A soma pode ser simplificada (fórmula padrão da anuidade):
pois
e multiplicando adequadamente chegamos à forma comum. Portanto a fórmula prática que vamos usar é
Explicando as variáveis:
-
é o valor de cada pagamento periódico ( aqui); -
é o número de pagamentos ( ); -
é a taxa de juros por período (a taxa mensal que queremos); -
é o fator de valor presente da anuidade de parcelas à taxa .
Passo 3
Montando a equação do problema:
O valor presente total da compra financiada é a entrada (paga agora) mais o valor presente das 12 prestações. Igualando isso ao preço à vista:
Isolando
:
Logo
Portanto precisamos achar
que satisfaça
Passo 4
Observação sobre resolução algébrica: a equação
não admite solução fechada simples em elementos elementares (é transcendental em
). Então usamos método numérico (tentativa e interpolação ou método de Newton). Vou fazer uma busca por tentativa inteligente (tabela) e depois interpolação linear para aproximar a taxa mensal.
Propriedade útil: o fator
é decrescente quando
aumenta. Então, aumentando
o lado esquerdo diminui.
Passo 5
Tabela de tentativas (vou testar algumas taxas mensais e calcular
). Para cada taxa
calcule
.
- Para
(5,0% ao mês):
(> 8,498, portanto taxa real é maior que 5,0%.)
- Para
(5,5% ao mês):
(ainda > 8,498, então taxa é maior que 5,5%.)
- Para
(5,7% ao mês):
(ainda um pouco > 8,498, então taxa é um pouco maior que 5,7%.)
- Para
(5,8% ao mês):
(agora ficou menor que 8,498, ou seja a taxa real está entre 5,7% e 5,8% ao mês.)
Passo 6
Interpolação linear entre
com
e
com
:
Se assumirmos variação aproximadamente linear nesse intervalo, a fração do caminho entre
e
que nos leva ao valor alvo
é
Portanto a taxa aproximada é
Passo 7
Verificação rápida (plugando
na fórmula para confirmar coerência):
Calcule
(cálculo por expansão/exponenciação aproximada) então
. Assim
muito próximo de
(erro de arredondamento ínfimo). Isso confirma que a taxa encontrada é consistente.