Resolver o seguintes exercícios do Livro Texto.
O preço à vista de uma mercadoria é R \(3.120,00\), mas pode ser financiada com uma entrada de\(\mathrm{R} \\)910,52\( e mais 12 prestações mensais de \)\mathrm{R} \$ 260,00. Calcular a taxa de juros.

Passo 1

O enunciado dá o seguinte: o preço à vista de uma mercadoria é \mathrm{R}\$\,3120,00. Pode-se pagar também com entrada de \mathrm{R}\$\,910,52 mais 12 prestações mensais de \mathrm{R}\$\,260,00. A pergunta é: calcular a taxa de juros (a taxa mensal que torna os dois preços equivalentes).
Informações relevantes:
  • Preço à vista: \mathrm{R}\$\,3120,00.
  • Entrada (pagamento imediato): \mathrm{R}\$\,910,52.
  • Número de prestações: n=12.
  • Valor de cada prestação (mensal, paga ao final de cada mês): R=\mathrm{R}\$\,260,00.
  • Procuramos a taxa de juros mensal i tal que o valor presente da compra financiada (entrada + valor presente das 12 prestações) seja igual a \mathrm{R}\$\,3120,00.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aulas rápidas e diretas):
Quando se tem uma série de n pagamentos iguais R feitos no final de cada período (anuidade-imediata), o valor presente PV dessa anuidade à taxa de juros por período i é a soma geométrica
PV = R\sum_{k=1}^{n}(1+i)^{-k}.
Essa soma é uma série geométrica com razão v=(1+i)^{-1}. A soma pode ser simplificada (fórmula padrão da anuidade):
\sum_{k=1}^{n}v^{k}=v\frac{1-v^{n}}{1-v}=\frac{1-v^{n}}{i},
pois 1-v=(1-(1+i)^{-1})=\dfrac{i}{1+i} e multiplicando adequadamente chegamos à forma comum. Portanto a fórmula prática que vamos usar é
PV = R\cdot a_{n|i}, \qquad\text{onde}\qquad a_{n|i}=\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
Explicando as variáveis:
  • R é o valor de cada pagamento periódico ( \mathrm{R}\$\,260,00 aqui);
  • n é o número de pagamentos ( 12);
  • i é a taxa de juros por período (a taxa mensal que queremos);
  • a_{n|i} é o fator de valor presente da anuidade de n parcelas à taxa i.

Passo 3

Montando a equação do problema:
O valor presente total da compra financiada é a entrada (paga agora) mais o valor presente das 12 prestações. Igualando isso ao preço à vista:
910{,}52 + 260\cdot a_{12|i} = 3120.
Isolando a_{12|i}:
260\cdot a_{12|i} = 3120 - 910{,}52 = 2209{,}48.
Logo
a_{12|i} = \frac{2209{,}48}{260} = 8{,}498.
Portanto precisamos achar i que satisfaça
\frac{1-(1+i)^{-12}}{i} = 8{,}498.

Passo 4

Observação sobre resolução algébrica: a equação
\frac{1-(1+i)^{-12}}{i} = 8{,}498
não admite solução fechada simples em elementos elementares (é transcendental em i). Então usamos método numérico (tentativa e interpolação ou método de Newton). Vou fazer uma busca por tentativa inteligente (tabela) e depois interpolação linear para aproximar a taxa mensal.
Propriedade útil: o fator a_{12|i} é decrescente quando i aumenta. Então, aumentando i o lado esquerdo diminui.

Passo 5

Tabela de tentativas (vou testar algumas taxas mensais e calcular a_{12|i}). Para cada taxa i calcule a_{12|i}=(1-(1+i)^{-12})/i.
  • Para i=0{,}05 (5,0% ao mês):
1+i=1{,}05,\qquad (1+i)^{12}\approx1{,}795856,\qquad (1+i)^{-12}\approx0{,}5573,
a_{12|0{,}05}=\frac{1-0{,}5573}{0{,}05}\approx\frac{0{,}4427}{0{,}05}=8{,}854.
(> 8,498, portanto taxa real é maior que 5,0%.)
  • Para i=0{,}055 (5,5% ao mês):
(1{,}055)^{12}\approx1{,}9019,\qquad (1{,}055)^{-12}\approx0{,}5258,
a_{12|0{,}055}\approx\frac{1-0{,}5258}{0{,}055}=\frac{0{,}4742}{0{,}055}\approx8{,}622.
(ainda > 8,498, então taxa é maior que 5,5%.)
  • Para i=0{,}057 (5,7% ao mês):
(1{,}057)^{12}\approx1{,}9429,\qquad (1{,}057)^{-12}\approx0{,}5148,
a_{12|0{,}057}\approx\frac{1-0{,}5148}{0{,}057}=\frac{0{,}4852}{0{,}057}\approx8{,}513.
(ainda um pouco > 8,498, então taxa é um pouco maior que 5,7%.)
  • Para i=0{,}058 (5,8% ao mês):
(1{,}058)^{12}\approx1{,}9672,\qquad (1{,}058)^{-12}\approx0{,}5084,
a_{12|0{,}058}\approx\frac{1-0{,}5084}{0{,}058}=\frac{0{,}4916}{0{,}058}\approx8{,}469.
(agora ficou menor que 8,498, ou seja a taxa real está entre 5,7% e 5,8% ao mês.)

Passo 6

Interpolação linear entre i_1=5{,}7\% com a_1=8{,}513 e i_2=5{,}8\% com a_2=8{,}469:
Se assumirmos variação aproximadamente linear nesse intervalo, a fração do caminho entre i_1 e i_2 que nos leva ao valor alvo a=8{,}498 é
\text{frac}=\frac{a_1 - a}{a_1 - a_2}=\frac{8{,}513-8{,}498}{8{,}513-8{,}469}}=\frac{0{,}015}{0{,}044}\approx0{,}3409.
Portanto a taxa aproximada é
i \approx 5{,}7\% + 0{,}3409\times(0{,}1\%) = 5{,}7\% + 0{,}0341\% \approx 5{,}7341\% \text{ ao mês}.ê

Passo 7

Verificação rápida (plugando i\approx0{,}057341 na fórmula para confirmar coerência):
Calcule (1+i)^{12}\approx1{,}9499 (cálculo por expansão/exponenciação aproximada) então (1+i)^{-12}\approx0{,}51264. Assim
a_{12|0{,}057341}\approx\frac{1-0{,}51264}{0{,}057341}=\frac{0{,}48736}{0{,}057341}\approx8{,}499,
muito próximo de 8{,}498 (erro de arredondamento ínfimo). Isso confirma que a taxa encontrada é consistente.

Resposta

i \approx 5{,}734\%\\ \text{ao mês}ê

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