Resolver o seguintes exercícios do Livro Texto.
O pH de soluções diluídas de um ácido fraco é a raiz positiva da equação \left[\mathrm{H}_{3} \mathrm{O}^{+}\right]^{3}+ K_{a}\left[\mathrm{H}_{3} \mathrm{O}^{+}\right]^{2}-\left(K_{a} C_{a}+K_{\omega}\right)\left[\mathrm{H}_{3} \mathrm{O}^{+}\right]-K_{\omega} K_{a}=0, sendo p H=-\log _{10}\left[\mathrm{H}_{3} \mathrm{O}^{+}\right], K_{a} a constante de dissociação do ácido, C_{a} a concentração do ácido e K_{\omega} o produto iônico da água. Calcular o pH de uma solução de ácido bórico a 25^{\circ} \mathrm{C}, sabendo que K_{a}=6,5 \times 10^{-10} M, C_{a}=2,0 \times 10^{-5} M e K_{\omega}=1,0 \times 10^{-14} M.

Passo 1

O enunciado pede o pH de uma solução diluída de um ácido fraco (ácido bórico) a 25^\circ\mathrm{C}. Dados fornecidos:
  • K_{a}=6,5\times10^{-10}\\ \mathrm{M}.
  • C_{a}=2,0\times10^{-5}\\ \mathrm{M}.
  • K_{\omega}=1,0\times10^{-14}\\ \mathrm{M}.
  • A concentração de íons hidrônio é a raiz positiva da equação
\left[\mathrm{H}_{3}\mathrm{O}^{+}\right]^{3}+K_{a}\left[\mathrm{H}_{3}\mathrm{O}^{+}\right]^{2}-\bigl(K_{a}C_{a}+K_{\omega}\bigr)\left[\mathrm{H}_{3}\mathrm{O}^{+}\right]-K_{\omega}K_{a}=0.
O que pedimos: calcular o pH, isto é
\mathrm{pH}=-\log_{10}\bigl(\left[\mathrm{H}_{3}\mathrm{O}^{+}\right]\bigr),
onde \left[\mathrm{H}_{3}\mathrm{O}^{+}\right] é a raiz positiva da cúbica acima.

Passo 2

Breve explicação de onde vem a equação (para você entender a física/química por trás): seja x=\left[\mathrm{H}_{3}\mathrm{O}^{+}\right]. Do equilíbrio do ácido HA \rightleftharpoons H^{+}+A^{-} e da autoionização da água, usa-se conservação de massa e equilíbrio químico para obter
x=[A^{-}]+\frac{K_{\omega}}{x},
com [A^{-}]=\dfrac{K_{a}C_{a}}{x+K_{a}}. Substituindo e multiplicando os fatores apropriados chega-se, após álgebra, à cúbica do enunciado. Mostrar isso serve para você entender que a equação é exata (não é apenas uma aproximação).

Passo 3

Escolha do método de solução: a equação é um polinômio de grau 3 sem solução trivial por fatoração imediata com os números dados. Vou resolver numericamente para obter \left[\mathrm{H}_{3}\mathrm{O}^{+}\right]. Uma técnica rápida e robusta é o método de Newton–Raphson, que apresenta convergência quadrática perto da raiz. Vou explicar o método e aplicá-lo passo a passo.
O método de Newton para uma função f(x) usa a iteração
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
Aqui, definimos
f(x)=x^{3}+K_{a}x^{2}-(K_{a}C_{a}+K_{\omega})x-K_{\omega}K_{a},
e sua derivada
f'(x)=3x^{2}+2K_{a}x-(K_{a}C_{a}+K_{\omega})'.
Atenção: cuidado com a derivada do termo linear; como (K_{a}C_{a}+K_{\omega}) é constante, a derivada de - (K_{a}C_{a}+K_{\omega})x é -(K_{a}C_{a}+K_{\omega}). Portanto
f'(x)=3x^{2}+2K_{a}x-(K_{a}C_{a}+K_{\omega}).

Passo 4

Substituir os valores numéricos nas constantes (vou escrever com os números que você passou):
K_{a}=6,5\times10^{-10},\qquad C_{a}=2,0\times10^{-5},\qquad K_{\omega}=1,0\times10^{-14}.
Calcular produtos constantes úteis:
K_{a}C_{a}=(6,5\times10^{-10})\times(2,0\times10^{-5})=1,3\times10^{-14},
K_{a}C_{a}+K_{\omega}=1,3\times10^{-14}+1,0\times10^{-14}=2,3\times10^{-14},
K_{\omega}K_{a}=(1,0\times10^{-14})\times(6,5\times10^{-10})=6,5\times10^{-24}.
Assim a função fica explicitamente (para leitura prática)
f(x)=x^{3}+(6,5\times10^{-10})x^{2}-(2,3\times10^{-14})x-(6,5\times10^{-24}),
f'(x)=3x^{2}+2(6,5\times10^{-10})x-(2,3\times10^{-14}).

Passo 5

Escolha de um palpite inicial x_{0}: algumas aproximações rápidas ajudam. Se só houvesse autoionização da água, x\approx\sqrt{K_{\omega}}=1,0\times10^{-7}. Se houvesse só o ácido fraco (ignorando água), uma aproximação comum é x\approx\sqrt{K_{a}C_{a}}=\sqrt{(6,5\times10^{-10})(2,0\times10^{-5})}=\sqrt{1,3\times10^{-14}}=3,6\times10^{-7}. O valor real deve ficar entre esses dois; vou começar com um palpite intermediário razoável x_{0}=1,5\times10^{-7}\\ \mathrm{M}. Isso é simples de fazer à mão e rápido para convergir.

Passo 6

Aplicar Newton — primeira iteração. Escrevo x_{0}=1,5\times10^{-7}.
Calcular f(x_{0}):
x_{0}^{2}=(1,5\times10^{-7})^{2}=2,25\times10^{-14},
x_{0}^{3}=(1,5\times10^{-7})^{3}=3,375\times10^{-21},
(6,5\times10^{-10})x_{0}^{2}=(6,5\times10^{-10})(2,25\times10^{-14})=1,4625\times10^{-23},
-(2,3\times10^{-14})x_{0}=-(2,3\times10^{-14})(1,5\times10^{-7})=-3,45\times10^{-21},
f(x_{0})=3,375\times10^{-21}+1,4625\times10^{-23}-3,45\times10^{-21}-6,5\times10^{-24}\approx-6,0375\times10^{-23}.
Calcular f'(x_{0}):
3x_{0}^{2}=3(2,25\times10^{-14})=6,75\times10^{-14},
2K_{a}x_{0}=2(6,5\times10^{-10})(1,5\times10^{-7})=1,95\times10^{-16},
-(K_{a}C_{a}+K_{\omega})=-(2,3\times10^{-14}),
f'(x_{0})\approx6,75\times10^{-14}+1,95\times10^{-16}-2,3\times10^{-14}=4,46195\times10^{-14}\\ (\text{aprox. }4,46\times10^{-14}).
Aplicando Newton:
x_{1}=x_{0}-\frac{f(x_{0})}{f'(x_{0})}=1,5\times10^{-7}-\frac{-6,0375\times10^{-23}}{4,46195\times10^{-14}}\approx1,5\times10^{-7}+1,353\times10^{-9}=1,51353\times10^{-7}.

Passo 7

Segunda iteração para maior precisão. Use x_{1}=1,51353\times10^{-7}.
Calcular rapidamente (apenas os resultados essenciais mostrados de forma direta):
x_{1}^{2}\approx2,2915\times10^{-14},\qquad x_{1}^{3}\approx3,468\times10^{-21},
(6,5\times10^{-10})x_{1}^{2}\approx1,4895\times10^{-23}, \qquad -(2,3\times10^{-14})x_{1}\approx-3,4811\times10^{-21},
f(x_{1})\approx3,468\times10^{-21}+1,4895\times10^{-23}-3,4811\times10^{-21}-6,5\times10^{-24}\approx-1,08\times10^{-23}.
Derivada:
f'(x_{1})\approx3(2,2915\times10^{-14})+2(6,5\times10^{-10})x_{1}-2,3\times10^{-14}\approx4,58\times10^{-14}.
Correção:
x_{2}=x_{1}-\frac{f(x_{1})}{f'(x_{1})}\approx1,51353\times10^{-7}-\frac{-1,08\times10^{-23}}{4,58\times10^{-14}}\approx1,515\times10^{-7}.
Já estamos com convergência muito boa: a correção ficou da ordem de 10^{-10} a 10^{-11} em concentração. Uma iteração adicional dá praticamente o mesmo valor. Tomo como valor final
\left[\mathrm{H}_{3}\mathrm{O}^{+}\right]\approx1,5146\times10^{-7}\\ \mathrm{M}.

Passo 8

Calcular o pH a partir de \left[\mathrm{H}_{3}\mathrm{O}^{+}\right]. Lembrete: \mathrm{pH}=-\log_{10}\bigl(\left[\mathrm{H}_{3}\mathrm{O}^{+}\right]\bigr).
Usando o valor final:
\mathrm{pH}=-\log_{10}\bigl(1,5146\times10^{-7}\bigr)=-\bigl(\log_{10}(1,5146)-7\bigr)=7-\log_{10}(1,5146).
Aproximando \log_{10}(1,5146)\approx0,1804, obtemos
\mathrm{pH}\approx7-0,1804=6,8196\approx6,820.
Interpretação rápida: o ácido bórico é fraco e a concentração é baixa; o pH ficou um pouco abaixo de 7, em torno de 6,82. Isso faz sentido físico e numérico — a contribuição combinada do ácido e da autoionização da água foi considerada.

Resposta

6,820

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