Resolver o seguintes exercícios do Livro Texto.
O pH de soluções diluídas de um ácido fraco é a raiz positiva da equação
, sendo
a constante de dissociação do ácido,
a concentração do ácido e
o produto iônico da água. Calcular o pH de uma solução de ácido bórico a
, sabendo que
e
.
O pH de soluções diluídas de um ácido fraco é a raiz positiva da equação
Passo 1
O enunciado pede o pH de uma solução diluída de um ácido fraco (ácido bórico) a
. Dados fornecidos:
-
. -
. -
. - A concentração de íons hidrônio é a raiz positiva da equação
O que pedimos: calcular o pH, isto é
onde
é a raiz positiva da cúbica acima.
Passo 2
Breve explicação de onde vem a equação (para você entender a física/química por trás): seja
. Do equilíbrio do ácido
e da autoionização da água, usa-se conservação de massa e equilíbrio químico para obter
com
. Substituindo e multiplicando os fatores apropriados chega-se, após álgebra, à cúbica do enunciado. Mostrar isso serve para você entender que a equação é exata (não é apenas uma aproximação).
Passo 3
Escolha do método de solução: a equação é um polinômio de grau 3 sem solução trivial por fatoração imediata com os números dados. Vou resolver numericamente para obter
. Uma técnica rápida e robusta é o método de Newton–Raphson, que apresenta convergência quadrática perto da raiz. Vou explicar o método e aplicá-lo passo a passo.
O método de Newton para uma função
usa a iteração
Aqui, definimos
e sua derivada
Atenção: cuidado com a derivada do termo linear; como
é constante, a derivada de
é
. Portanto
Passo 4
Substituir os valores numéricos nas constantes (vou escrever com os números que você passou):
Calcular produtos constantes úteis:
Assim a função fica explicitamente (para leitura prática)
Passo 5
Escolha de um palpite inicial
: algumas aproximações rápidas ajudam. Se só houvesse autoionização da água,
. Se houvesse só o ácido fraco (ignorando água), uma aproximação comum é
. O valor real deve ficar entre esses dois; vou começar com um palpite intermediário razoável
. Isso é simples de fazer à mão e rápido para convergir.
Passo 6
Aplicar Newton — primeira iteração. Escrevo
.
Calcular
:
Calcular
:
Aplicando Newton:
Passo 7
Segunda iteração para maior precisão. Use
.
Calcular rapidamente (apenas os resultados essenciais mostrados de forma direta):
Derivada:
Correção:
Já estamos com convergência muito boa: a correção ficou da ordem de
a
em concentração. Uma iteração adicional dá praticamente o mesmo valor. Tomo como valor final
Passo 8
Calcular o pH a partir de
. Lembrete:
.
Usando o valor final:
Aproximando
, obtemos
Interpretação rápida: o ácido bórico é fraco e a concentração é baixa; o pH ficou um pouco abaixo de 7, em torno de
. Isso faz sentido físico e numérico — a contribuição combinada do ácido e da autoionização da água foi considerada.