Uma imobiliária de casas de veraneio solicita aos potenciais compradores que visitem o local de interesse antes de finalizar uma compra. Sabe-se que:
  • 20 % dos visitantes optam por visitas durante o dia (A);
  • 50 % dos visitantes optam por visitas de uma noite (B);
  • 30 % dos visitantes optam por visitas de duas noites ©;
  • 10 % dos visitantes diurnos fazem uma compra;
  • 30 % dos visitantes de uma noite fazem uma compra;
  • 20 % dos visitantes de duas noites fazem uma compra.
    Um visitante é selecionado aleatoriamente e constatou-se que ele fez uma compra (D).
    Qual é a probabilidade dele ter feito uma visita durante o dia?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma imobiliária que oferece três tipos de visitas para quem quer comprar uma casa de veraneio:
  • A: Visita durante o dia (20% dos visitantes)
  • B: Visita de uma noite (50% dos visitantes)
  • C: Visita de duas noites (30% dos visitantes)
Além disso, sabemos a porcentagem de visitantes que fazem uma compra em cada tipo de visita:
  • A: 10% realizam compra
  • B: 30% realizam compra
  • C: 20% realizam compra
A pergunta é: Qual a probabilidade de um visitante ter feito uma visita durante o dia, dado que ele fez uma compra?
Vamos usar conceitos de probabilidade condicional e Teorema de Bayes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é probabilidade condicional. Ela nos ajuda a encontrar a probabilidade de um evento A ocorrer, sabendo que outro evento B já aconteceu. A fórmula é:
P(A|B) = P(A cap B)P(B)
Aqui, queremos encontrar P(A|D), onde:
  • A: Visita durante o dia
  • D: Fez uma compra
Então, adaptando a fórmula:
P(A|D) = P(D|A) times P(A)P(D)

Passo 3

Vamos calcular cada parte da fórmula:
  1. P(D|A): Probabilidade de fazer uma compra dado que a visita foi durante o dia. Já sabemos que é 10% ou 0,10.
  2. P(A): Probabilidade de uma visita ser durante o dia. É 20% ou 0,20.
  3. P(D): Probabilidade geral de um visitante fazer uma compra. Para calcular isso, precisamos considerar todas as maneiras pelas quais alguém pode fazer uma compra:
P(D) = P(D|A) times P(A) + P(D|B) times P(B) + P(D|C) times P(C)
Substituindo os valores:
P(D) = (0,10 times 0,20) + (0,30 times 0,50) + (0,20 times 0,30)
P(D) = 0,02 + 0,15 + 0,06 = 0,23

Passo 4

Agora que temos todos os valores, podemos substituir na fórmula do Teorema de Bayes:
P(A|D) = 0,10 times 0,200,23 = 0,020,23 approx 0,08696

Resposta

A probabilidade de o visitante ter feito uma visita durante o dia, dado que ele fez uma compra, é aproximadamente 8,7%.

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