Um sítio é vendido nas seguintes condições:
entrada
30.000,00$;
Sendo de
a.m. a taxa de juros, determinar até que preço é interessante adquirir este sítio a vista.
entrada
Sendo de
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- entrada
; - taxa de juros
ao mês.
O que se pede: determinar “até que preço é interessante adquirir este sítio à vista” — isto é, encontrar o valor máximo que eu estaria disposto a pagar à vista para que pagar à vista seja tão bom quanto (ou melhor que) comprar sob as condições de venda apresentadas.
Passo 2
Antes de calcular, precisamos ver se há informação suficiente. Para comparar compra à vista com compra financiada (entrada + prestações) é preciso conhecer os termos do financiamento além da entrada, por exemplo:
- número de prestações
e valor de cada prestação , ou - o valor total financiado e como ele será pago (prestações iguais, prestações variáveis, ou pagamento único no final).
Esses dados NÃO estão no enunciado. Sem saber
e
(ou a forma dos pagamentos futuros) não é possível obter um valor numérico para “até que preço é interessante adquirir à vista”. Vou então explicar exatamente o que faltou e como proceder matematicamente, para que você aplique direto na prova se tiver
e
.
Passo 3
Conceito chave (explicado devagar): o critério econômico para decidir é comparar o preço à vista com o valor presente (PV) de todas as parcelas do financiamento, descontadas pela taxa de juros indicada (
a.m.). Se o preço à vista for menor ou igual ao PV do financiamento, pagar à vista é vantajoso (ou, no mínimo, não pior). Se o preço à vista for maior que o PV do financiamento, é melhor financiar.
O que é “valor presente”? É o quanto vale hoje (em reais à vista) uma quantia que será paga no futuro. Para descontar uma quantia
que será paga daqui a
meses usamos
onde
é a taxa por mês (aqui
).
Passo 4
Se o financiamento após a entrada consiste em
prestações mensais iguais de valor
pagas ao final de cada mês, o valor presente dessas prestações é a soma geométrica
Essa soma tem fórmula fechada (PV de anuidade ordinária). Vou derivar rapidamente para você entender e poder usar na prova:
Considere
Isso é uma série geométrica de razão
. A soma é
Portanto o PV das
prestações iguais é
Passo 5
Juntando a entrada, o valor presente de toda a compra financiada é
com
(ou, de modo mais geral, se as prestações forem
distintas)
O preço máximo que faz valer pagar à vista é justamente esse valor presente do financiamento. Ou seja, pagar à vista compensa até o preço
no caso de prestações iguais
por
meses; ou, no caso geral,
Passo 6
Exemplo ilustrativo (apenas para você ver um número): suponha que o vendedor peça entrada
e mais
prestações mensais iguais de
. Então com
:
Calculemos aproximadamente e depois o PV:
Calculemos
Portanto, neste exemplo hipotético, pagar à vista compensaria até cerca de
. Repito: este número serve só como exemplo — o problema original não informou
nem
.
Passo 7
Resumo prático para a prova:
- Se na prova aparecerem entrada
, taxa a.m. e você receber número de prestações e valor , aplique a fórmula do Passo 5 e calcule diretamente. - Se as prestações forem diferentes, calcule o PV termo a termo com
e some com a entrada. - Compare o preço à vista com esse PV: pagar à vista é interessante se o preço à vista for menor ou igual ao PV do financiamento.
Resposta
Não é possível determinar numericamente sem os dados do financiamento (número e/ou valores das prestações).
O preço máximo à vista é dado por
O preço máximo à vista é dado por
que, no caso de
prestações iguais
, fica