Um sítio é vendido nas seguintes condições:
entrada =\ 30.000,00$;
Sendo de 2,5 \% a.m. a taxa de juros, determinar até que preço é interessante adquirir este sítio a vista.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • entrada = R\$\,30.000,00;
  • taxa de juros = 2{,}5\% ao mês.
O que se pede: determinar “até que preço é interessante adquirir este sítio à vista” — isto é, encontrar o valor máximo que eu estaria disposto a pagar à vista para que pagar à vista seja tão bom quanto (ou melhor que) comprar sob as condições de venda apresentadas.

Passo 2

Antes de calcular, precisamos ver se há informação suficiente. Para comparar compra à vista com compra financiada (entrada + prestações) é preciso conhecer os termos do financiamento além da entrada, por exemplo:
  • número de prestações n e valor de cada prestação A, ou
  • o valor total financiado e como ele será pago (prestações iguais, prestações variáveis, ou pagamento único no final).
Esses dados NÃO estão no enunciado. Sem saber n e A (ou a forma dos pagamentos futuros) não é possível obter um valor numérico para “até que preço é interessante adquirir à vista”. Vou então explicar exatamente o que faltou e como proceder matematicamente, para que você aplique direto na prova se tiver n e A.

Passo 3

Conceito chave (explicado devagar): o critério econômico para decidir é comparar o preço à vista com o valor presente (PV) de todas as parcelas do financiamento, descontadas pela taxa de juros indicada ( i=2{,}5\% a.m.). Se o preço à vista for menor ou igual ao PV do financiamento, pagar à vista é vantajoso (ou, no mínimo, não pior). Se o preço à vista for maior que o PV do financiamento, é melhor financiar.
O que é “valor presente”? É o quanto vale hoje (em reais à vista) uma quantia que será paga no futuro. Para descontar uma quantia X que será paga daqui a k meses usamos
\text{PV de }X\text{ daqui a }k\text{ meses} = \frac{X}{(1+i)^k},
onde i é a taxa por mês (aqui i=0{,}025).

Passo 4

Se o financiamento após a entrada consiste em n prestações mensais iguais de valor A pagas ao final de cada mês, o valor presente dessas prestações é a soma geométrica
\sum_{k=1}^{n}\frac{A}{(1+i)^k}.
Essa soma tem fórmula fechada (PV de anuidade ordinária). Vou derivar rapidamente para você entender e poder usar na prova:
Considere
S = \sum_{k=1}^{n}\frac{A}{(1+i)^k} = A\left(\frac{1}{1+i}+\frac{1}{(1+i)^2}+\cdots+\frac{1}{(1+i)^n}\right).
Isso é uma série geométrica de razão r=\dfrac{1}{1+i}. A soma é
S = A\cdot\frac{\dfrac{1}{1+i}\left(1-\left(\dfrac{1}{1+i}\right)^{n}\right)}{1-\dfrac{1}{1+i}} = A\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
Portanto o PV das n prestações iguais é
\text{PV}_{\text{prestações}} = A\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.çõ

Passo 5

Juntando a entrada, o valor presente de toda a compra financiada é
\text{PV}_{\text{financiamento}} = R\$\,30.000,00 + A\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{i},
com i=0{,}025 (ou, de modo mais geral, se as prestações forem A_k distintas)
\text{PV}_{\text{financiamento}} = R\$\,30.000,00 + \sum_{k=1}^n \frac{A_k}{(1+i)^k}.
O preço máximo que faz valer pagar à vista é justamente esse valor presente do financiamento. Ou seja, pagar à vista compensa até o preço
\boxed{\text{Preço máximo à vista} = R\$\,30.000,00 + A\cdot\frac{1-(1+0{,}025)^{-n}}{0{,}025}},çáà
no caso de prestações iguais A por n meses; ou, no caso geral,
\boxed{\text{Preço máximo à vista} = R\$\,30.000,00 + \sum_{k=1}^n \frac{A_k}{(1+0{,}025)^k}}.çáà

Passo 6

Exemplo ilustrativo (apenas para você ver um número): suponha que o vendedor peça entrada R\$\,30.000,00 e mais n=12 prestações mensais iguais de A=R\$\,5.000,00. Então com i=0{,}025:
Calculemos (1+0{,}025)^{12} aproximadamente e depois o PV:
(1{+}0{,}025)^{12}\approx 1{,}3447\quad\Rightarrow\quad (1{+}0{,}025)^{-12}\approx 0{,}7439.
\frac{1-(1{+}0{,}025)^{-12}}{0{,}025}\approx \frac{1-0{,}7439}{0{,}025}\approx 10{,}244.
\text{PV}_{\text{prestações}}\approx 5.000\cdot 10{,}244 \approx R\$\,51.220,00.çõ
\text{PV}_{\text{financiamento}}\approx R\$\,30.000,00 + R\$\,51.220,00 = R\$\,81.220,00.
Portanto, neste exemplo hipotético, pagar à vista compensaria até cerca de R\$\,81.220,00. Repito: este número serve só como exemplo — o problema original não informou n nem A.

Passo 7

Resumo prático para a prova:
  • Se na prova aparecerem entrada R\$\,30.000,00, taxa 2{,}5\% a.m. e você receber número de prestações n e valor A, aplique a fórmula do Passo 5 e calcule diretamente.
  • Se as prestações forem diferentes, calcule o PV termo a termo com \dfrac{A_k}{(1+0{,}025)^k} e some com a entrada.
  • Compare o preço à vista com esse PV: pagar à vista é interessante se o preço à vista for menor ou igual ao PV do financiamento.

Resposta

Não é possível determinar numericamente sem os dados do financiamento (número e/ou valores das prestações).
O preço máximo à vista é dado por
\boxed{\;R\$\,30.000,00 + \sum_{k=1}^{n}\frac{A_k}{(1+0{,}025)^k}\;}
que, no caso de n prestações iguais A, fica
\boxed{\;R\$\,30.000,00 + A\cdot\frac{1-(1+0{,}025)^{-n}}{0{,}025}\; }.

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