Um imperador fez uma reunião secreta com alguns de seus aliados, não havia mais ninguém com eles. Cada um dos presentes fez reverência para cada um dos demais uma única vez, com exceção do imperador, que não fez reverência para ninguém. Houve um total de 324 reverências. Quantos aliados do imperador estavam presentes nessa reunião?
A) 12
B) 14
C) 16
D) 18
E) 24

Passo 1

O enunciado diz que há o imperador e n aliados. Cada aliado faz exatamente uma reverência para cada outra pessoa presente (incluindo o imperador), e o imperador não faz reverência para ninguém. Sabendo que houve ao todo 324 reverências, vamos achar n.

Passo 2

Entre cada par de aliados, digamos A e B, há uma reverência de A para B e outra de B para A. Como há \binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2} pares de aliados, o total de reverências entre aliados é
2\cdot \binom{n}{2} \;=\; n(n-1).

Passo 3

Cada aliado também faz uma reverência ao imperador, totalizando n reverências desse tipo.

Passo 4

Somando, o total de reverências é
n(n-1) + n \;=\; n^2.
Como isso deve ser igual a 324, temos
n^2 = 324 \quad\Longrightarrow\quad n = 18
(descartamos a raiz negativa).

Resposta

D) 18

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