Use a técnica de substituição simples para calcular as seguintes integrais.
\int_{0}^{4} \frac{1}{x^{2}+16} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{4} \frac{1}{x^{2}+16}\,dx
usando substituição simples. Vamos usar a técnica de substituição junto com a fórmula padrão
\int \frac{1}{u^{2}+1}\,du = \arctan(u) + C.

Passo 2

Fazendo a substituição \displaystyle u = \frac{x}{4}, de onde dx = 4\,du.
Quando x=0, u=0; quando x=4, u=1.
\int_{0}^{4} \frac{1}{x^{2}+16}\,dx = \int_{0}^{1} \frac{4}{16\bigl(u^{2}+1\bigr)}\,du = \frac{1}{4}\int_{0}^{1} \frac{1}{u^{2}+1}\,du.

Passo 3

Usando a antiderivada \int 1/(u^{2}+1)\,du=\arctan(u), temos
\frac{1}{4}\int_{0}^{1}\frac{1}{u^{2}+1}\,du = \frac{1}{4}\bigl[\arctan(u)\bigr]_{0}^{1} = \frac{1}{4}\bigl(\tfrac{\pi}{4}-0\bigr) = \frac{\pi}{16}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{16}

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