Use a técnica de substituição simples para calcular as seguintes integrais.
\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{x}{\sqrt{1-x^{4}}} d x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular
\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{x}{\sqrt{1 - x^{4}}}\,dx
usando substituição simples. A ideia é transformar o termo 1 - x^{4} em algo do tipo 1 - u^{2}, para usar a primitiva de \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{2} \quad\Longrightarrow\quad du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.
Quando x=0, u=0. Quando x=\frac{\sqrt{2}}{2},
u = \Bigl(\frac{\sqrt{2}}{2}\Bigr)^{2} = \frac{1}{2}.
Substituindo na integral, temos
\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{x}{\sqrt{1 - x^{4}}}\,dx = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}\,\frac{du}{\sqrt{1 - u^{2}}} = \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{du}{\sqrt{1 - u^{2}}}.

Passo 3

A primitiva de \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} é \arcsin(u). Logo, avaliando de 0 a \tfrac12:
\frac{1}{2}\Bigl[\arcsin(u)\Bigr]_{0}^{\frac12} = \frac{1}{2}\bigl(\arcsin(\tfrac12)-\arcsin(0)\bigr) = \frac{1}{2}\Bigl(\frac{\pi}{6}-0\Bigr) = \frac{\pi}{12}.

Resposta

\frac{\pi}{12}

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