Q. 3(1,5). Implicitamente, determine a inclinação da reta tangente ao gráfico da função y=f(x), no ponto de abscissa 1 , sabendo que x cdot arctg(x)+x cdot e^y=pi4+e^2.
Como x=1, então 1 cdot arctg(1)+1 cdot e^y=pi4+e^2 nos leva a pi4+e^y=pi4+e^2, ou seja, y=2. Derivando implicitamente, temos:
1 cdot arctg(x)+x1+x^2+1 cdot e^y+x cdot e^y cdot y^prime=0 Longrightarrow y^prime=-arctg(x)+x1+x^2+e^yx cdot e^y

Passo 1

O enunciado define a curva implicitamente por
xarctan(x)+x,e^y=pi4+e^2
e pede a inclinação da reta tangente, isto é, y'=dydx no ponto de abscissa x=1. Para isso, vamos primeiro achar a ordenada y correspondente a x=1 e depois derivar implicitamente.

Passo 2

Determinando y em x=1, substituímos na equação
1cdotarctan(1)+1cdot e^y=pi4+e^2
como arctan(1)=tfracpi4, obtemos
pi4+e^y=pi4+e^2
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e^y=e^2Longrightarrow y=2

Passo 3

Agora derivamos ambos os lados de
xarctan(x)+x,e^y=pi4+e^2
em relação a x. No lado esquerdo:
  • ddx[xarctan(x)]=arctan(x)+x1+x^2,
  • ddx[x,e^y]=e^y+x,e^y,y',
    e o lado direito é constante, derivada zero. Assim
arctan(x)+x1+x^2+e^y+x,e^y,y'=0

Passo 4

Isolando y', temos
x,e^y,y'=-l(arctan(x)+tfracx1+x^2+e^yr) Longrightarrow y'=-arctan(x)+x1+x^2+e^yx,e^y

Passo 5

Basta avaliar em (x,y)=(1,2). Sabendo arctan(1)=tfracpi4, tfrac11+1= tfrac12 e e^y=e^2, temos
y'(1)=-pi4+tfrac12+e^21cdot e^2 =-pi4+tfrac12+e^2e^2

Resposta

y'(1)=-pi4+tfrac12+e^2e^2

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