Qual a importância do Cálculo Diferencial para seu curso? Apresente uma aplicação.

Passo 1

O enunciado pede para explicarmos a importância do Cálculo Diferencial em um curso de Engenharia e apresentar uma aplicação concreta. Para isso, vamos revisitar o conceito de derivada, ver por que ela é essencial em Engenharia e depois ilustrar tudo com um exemplo em Cinemática.

Passo 2

A derivada de uma função f(t) num ponto t é definida por
f'(t) ;=;limhto0f(t+h)-f(t)h,
e representa a taxa instantânea de variação de f em relação a t.

Passo 3

Em Engenharia, precisamos modelar fenômenos dinâmicos, projetar sistemas e otimizar processos. A derivada é a ferramenta-chave para:
  • quantificar taxas de variação (por ex. velocidade, corrente elétrica, fluxo de calor);
  • linearizar sistemas não lineares (para análise de estabilidade e controle);
  • encontrar extremos (mínimos de custo, máximos de eficiência).

Passo 4

Como aplicação, consideremos a Cinemática de um objeto cuja posição em função do tempo é
x(t) = -2,t^2 + 10,t,
com x em metros e t em segundos. Queremos saber em que instante ele atinge o maior deslocamento.

Passo 5

A velocidade é a derivada de x(t):
v(t) = x'(t) = -4,t + 10
Para achar o instante de máximo deslocamento, impomos v(t)=0:
-4,t + 10 = 0 implies t = 104 = 2,5
Logo t = 2,5,s. Substituindo em x(t):
x(2,5) = -2,(2,5)^2 + 10cdot2,5 = -12,5 + 25 = 12,5
Portanto, o deslocamento máximo é 12,5,m.

Resposta

O Cálculo Diferencial é fundamental em Engenharia porque, por meio da derivada, permite calcular taxas instantâneas de variação, linearizar modelos complexos e otimizar projetos. Um exemplo prático está na Cinemática: dado x(t)=-2t^2+10t, usamos x'(t) para obter a velocidade, igualá-la a zero e descobrir que o objeto atinge o deslocamento máximo de 12,5,m aos 2,5,s.

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